¿Es $1/x$ una función descendente?

Question

Está descendiendo en todos sus componentes conectados, pero no como una función, ¿verdad? Pero por otro lado, $f'(x) = -x^{-2} < 0$, entonces debería estar descendiendo, ¿qué me estoy perdiendo?

Answer 1

El teorema sobre la relación entre la monotonía de $f$ y el signo de $f'$ debe aplicarse a un intervalo (un conjunto conectado en $\mathbb{R}$). De hecho, leyendo su demostración, tenemos que para $x_1, por el Teorema del Valor Medio, existe algún $t\in (x_1,x_2)$ tal que $$f(x_2)-f(x_1)=f'(t)(x_2-x_1)$$ Así que $f(x_2)\geq f(x_1)$ si y solo si $f'(t)\geq 0$. Aquí, para aplicar el Teorema del Valor Medio, necesitamos que $f$ sea una función continua en el intervalo cerrado $[x_1,x_2]$ y diferenciable en el intervalo abierto $(x_1,x_2)$.

Answer 2

El teorema que dice que $f'(x)<0$ para todo $x \in I$ implica que $f$ es decreciente en $I$ solo es aplicable cuando la función está definida y diferenciable en ese intervalo. Dado que tu función no está definida en $0$, no puedes aplicar ese teorema a ningún intervalo que contenga el $0$. Por supuesto, la función es decreciente en $(0,\infty)$ así como en $(-\infty,0)$.

Answer 3

$\frac{1}{x}$ no está definido cuando $x=0$, por lo que cuando $x > 0$ podría no estar disminuyendo.

Answer 4

Ten en cuenta que $$f(-1)=-1<1=f(1).$$ Así que $f$ no está disminuyendo. ¿Hay una contradicción con $f'(x)<0$? No, ya que $f$ no está definida en $x=0.$

El dominio de $f$ es $(-\infty,0)\cup (0,\infty).$ Dado que $f'<0$, todo lo que podemos decir es que $f$ está disminuyendo en $(-\infty,0)$ y en $(0,\infty).$ Pero esto no implica que $f$ esté disminuyendo en $(-\infty,0)\cup (0,\infty).$

Answer 5

gráfico de 1/x

Como se puede ver en el gráfico de 1/x, no está definido en 0 pero disminuye para otros valores de x ya que y' = -(1/x^2)