Método alternativo para el problema de la escalera infinita

Question

La forma inteligente de calcular la resistencia de una escalera infinita de resistencias comienza con la idea de que la resistencia equivalente no cambia si agregamos un elemento más a la cadena infinita. Por lo tanto, podemos obtener una ecuación que solo involucre a $R_{eq}$ (la resistencia equivalente) y los otros elementos resistivos en el circuito, llamémoslos $R_1$ y $R_2.

Sin embargo, ¿cómo resolveríamos el problema de la manera difícil, sin hacer uso de este hecho? No estoy señalando la necesidad de otra demostración porque la solución convencional no me convence (de hecho, lo contrario), pero tengo curiosidad por encontrar una forma alternativa, ya que esto podría ser útil para resolver otros problemas donde las resistencias no son todas iguales, sino que, por ejemplo, una de ellas varía según el número, es decir, $R_n (n).

Así que este fue mi intento. Al final resultó que necesitaba resolver una serie, pero ni siquiera Wolfram obtuvo una solución para ello.

Inyectamos una corriente $I$ en el circuito. Llamemos $i_1 , i_2 ..$ a la corriente que fluye a través de la primera, la segunda, etc., resistencia de 2 ohmios hacia la izquierda. Seremos más genéricos, así que llamaremos $R_1$ a la resistencia de un ohmio y $R_2$ a la resistencia de dos ohmios. Entonces, podemos obtener fácilmente las siguientes ecuaciones:

$i_1 R_2 = i_2 R_2 + (I - i_1) R_1$

$i_2 R_2 = i_3 R_2 + (I - i_1 - i_2) R_1$

. . .

$i_{N-1} R_2 = i_N R_2 + (I - \sum_{j=1}^{N-1}{i_j}) R_1$

A partir de estas ecuaciones, podemos obtener la fórmula recursiva:

$i_n = i_{n+1} + \frac{R_1}{R_2} (-I + \sum_{j=1}^{n}{i_j})$

Aquí mi intención era dárselo a Wolfram, obtener una expresión para $i_{1} (i_N)$ y permitir que $N \rightarrow \infty$ para que $i_N \rightarrow 0$. Habiendo obtenido $i_{1} (I, R_1, R_2)$, ahora podemos calcular la diferencia de potencial a través de AB, $V = i_1 R_2 + I R_1$. Dado que inyectamos una corriente $I$, la resistencia equivalente es $R_{eq}= \frac{V}{I}$.

Pero Wolfram me abandonó.

¿Alguna observación, alguna idea para resolver el problema?

Answer 1

Si etiquetamos los pds a través de resistores verticales sucesivos como "$V_n$", "$V_{n+1}$" y así sucesivamente podemos escribir la ley de corriente de Kirchoff en un empalme como $$\frac{V_n-V_{n+1}}{R_A}=\frac{V_{n+1}}{R_B}+\frac{V_{n+1}-V_{n+2}}{R_A}$$ en donde $R_A$ y $R_B$ son los valores de un resistor horizontal y vertical respectivamente. Si estás de acuerdo con la suposición de que $\frac{V_{n+2}}{V_{n+1}}=\frac{V_{n+1}}{V_{n}}\ [=\alpha\ \,\text{digamos}]$ a lo largo de la escalera, entonces puedes obtener una ecuación cuadrática para $\alpha$. Conociendo $\alpha$ puedes encontrar la corriente de entrada para un pd de entrada dado, y por lo tanto la resistencia de entrada.

Posiblemente bastante menos convincente que el método 'sin cambio con una sección adicional', ¡pero al menos es bastante diferente! ¡Y da la misma respuesta!

Algunas investigaciones numéricas... Supongamos que el extremo derecho de la escalera es un resistor vertical (2 ohmios) y la última sección de la escalera es un resistor horizontal (1 ohmio) conectado a ese resistor vertical. Entonces la resistencia, $R_1$, de la última sección vista desde la izquierda es 3 ohmios. La resistencia, $R_2$, de las dos últimas secciones juntas es, vista desde la izquierda, 11/5 ohmios, luego tenemos 43/21 ohmios, 171/85 ohmios. Estas resistencias, descubrí, encajan en el patrón $$R_{m}\text{\ohm}=2+\frac{3}{4^{m}-1}$$ ¡Claramente la convergencia a 2 ohmios será muy rápida!

Adición al post Simplificar la notación llamando a la resistencia horizontal "X" y a la resistencia vertical "$\beta X$". Llama a la resistencia de una escalera de m secciones (un resistor horizontal unido a la derecha a un resistor vertical hacia un riel de 'tierra'), "$r_{m}X$". Entonces, asumiendo que agregar una sección más a la izquierda de una escalera infinita no cambiará su resistencia tenemos $$r_{\infty}X=X+\frac{\beta X.r_{\infty}X}{\beta X+r_{\infty}X}\ \ \ \text{dando}\ \ \ \ \ r_{\infty}=\frac{1}{2}\left(1+\sqrt{1+4\beta}\right)$$

$\beta=2$ da $r_{\infty}=2$, como sabemos. Ciertos otros valores de $\beta$ también darán valores racionales de $r_{\infty}$, por ejemplo, $\beta \ =$12, 6, 2, 3/4, 5/16, 9/64 dan respectivamente, $r_{\infty}=\ $4, 3, 2, 3/2, 5/4, 9/8. Sin duda, en cada uno de estos casos podemos encontrar una fórmula general para $r_m$ como lo hicimos cuando $\beta=2$, inspeccionando la parte restante cuando restamos $r_\infty$ de $r_1$, $r_2$ y así sucesivamente.

Para la mayoría de los valores de $\beta$, este procedimiento no tiene oportunidad de funcionar, ¡porque $r_{\infty}$ será irracional, mientras que $r_1$, $r_2$ y así sucesivamente son claramente racionales si $\beta$ es racional! En su lugar, para el caso general, usamos series binomiales... Expandiendo la expresión para $r_\infty$ dada anteriormente obtenemos $$r_\infty=1+\beta-\beta^2+2\beta^3-5\beta^4+14\beta^5-42\beta^6+132\beta^7-429\beta^8+...$$ Pero claramente, $r_1=1+\beta$.

¡Entonces $r_1$ concuerda con $r_\infty$ hasta el segundo término!

Encontramos sin mucha dificultad que $$r_2=1+\frac{\beta(1+\beta)}{1+2\beta}$$ Expandiendo $\frac{1}{1+2\beta}$ binomialmente y multiplicando, obtenemos $$r_2=1+\beta-\beta^2 +2\beta^3 -4\beta^4+...$$ ¡Así que ahora tenemos acuerdo con $r_\infty$ hasta el cuarto término!

Continuando... $$r_3=1+\frac{\beta(1+3\beta +\beta^2)}{1+4\beta +3\beta^2}$$ y esto nos da $$r_3=1+\beta-\beta^2+2\beta^3-5\beta^4+14\beta^5-41\beta^6+…$$ ¡Así que ahora tenemos acuerdo con $r_\infty$ hasta el sexto término!

Esto puede que no haya sido muy elegante, ¡pero ahora estoy convencido! [Presumiblemente, $\beta$ está restringido a ser menor que 1 para que este método sea válido.] Gracias por este problema interesante.

Answer 2

Puedes resolver la ecuación de diferencia dada. Comienza con $$i_{n}=i_{n+1}+\frac{R_1}{R_2}\left(I-\sum_{j=1}^ni_j\right)$$ Avanza a $$i_{n+1}=i_{n+2}+\frac{R_1}{R_2}\left(I-\sum_{j=1}^{n+1}i_j\right)$$ Resta y reorganiza para obtener la ecuación de diferencia de segundo orden $$i_{n+2}-\left(2+\frac{R_1}{R_2}\right)i_{n+1}+i_n=0$$ Si asumimos una solución de la forma $$i_n=Cr^n$$ Entonces se sigue que $$C\left(r^2-\left(2+\frac{R_1}{R_2}\right)r+1\right)r^2=0$$ Con raíces $$\begin{align}r_1&=1+\frac{R_1}{2R_2}-\sqrt{\frac{R_1}{R_2}+\frac{R_1^2}{4R_2^2}}\\ r_2&=1+\frac{R_1}{2R_2}+\sqrt{\frac{R_1}{R_2}+\frac{R_1^2}{4R_2^2}}\end{align}$$ La solución general a esta ecuación de diferencia lineal homogénea es por lo tanto $$i_n=C_1r_1^n+C_2r_2^n$$ Las corrientes $i_n$ tienen que permanecer acotadas cuando $n\rightarrow\infty$ así que $C_2=0$ y la corriente total en el circuito es $$I=\sum_{n=1}^{\infty}i_n=\sum_{n=1}^{\infty}C_1r_1^n=\frac{C_1r_1}{1-r_1}$$ Así que $$C_1=\frac{I(1-r_1)}{r_1}=\left(\sqrt{\frac{R_1}{R_2}+\frac{R_1^2}{4R_2^2}}+\frac{R_1}{2R_2}\right)I$$ Por lo tanto $$i_1=C_1r_1=\left(\sqrt{\frac{R_1}{R_2}+\frac{R_1^2}{4R_2^2}}-\frac{R_1}{2R_2}\right)$$ Y el voltaje $$V=IR_r+i_1R_2=\left(R_2\sqrt{\frac{R_1}{R_2}+\frac{R_1^2}{4R_2^2}}+\frac12R_1\right)I$$ Así $$R_{eq}=\frac VI=R_2\sqrt{\frac{R_1}{R_2}+\frac{R_1^2}{4R_2^2}}+\frac12R_1$$ Esto es consistente con las otras respuestas en que si $R_1=1\,\Omega$, $R_2=2\,\Omega$, entonces $R_{eq}=2\,\Omega$.

Answer 3

Otro enfoque es el de partir de una expansión de fracción continua de la resistencia. De hecho, nota que

$$R_\mathrm{eq}/\Omega = 1 + \cfrac{1}{0.5 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{0.5 + \cfrac{1}{1 + \cdots}}}},$$

donde los términos iguales a 1 son las resistencias de los resistores en serie y los términos iguales a 0.5 son las conductancias de los resistores en paralelo. Esta ecuación se puede obtener partiendo de los terminales A y B y aplicando de forma recursiva las ecuaciones de resistencias equivalentes en serie y en paralelo (este tipo de expansión se utiliza en la síntesis de ciertas redes eléctricas y lleva a las llamadas formas de Cauer).

Luego puedes encontrar el valor de la resistencia equivalente aplicando ciertos resultados sobre fracciones continuas o, utilizando Wolfram Mathematica,

FromContinuedFraction[{{1, 1/2}}]

lo cual da como resultado 2.