En funciones hermíticas continuas de manera uniforme, acotadas, cuyo producto es continuamente diferenciable.

Question

Sean $f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ funciones uniformemente continuas, tales que $f(0) = g(0) = 1$, $|f(x)| \le 1, |g(x)| \le 1, \forall x \in \mathbb{R}$, $f(-t) = \overline{f(t)}, g(-t) = \overline{g(t)}, \forall t \in \mathbb{R}$ y $f \cdot g$ es continuamente diferenciable en $\mathbb{R}$.

Entonces, ¿es cierto que $f, g$ son diferenciables en $0$? Si esto no es cierto en general, ¿qué sucede si también asumimos que $f, g$ son funciones de valores reales?

Answer 1

Define \(r(x)=\frac1{|x|+1\) and take \(f(x)=r(x)+i\sigma(x)\sqrt{1-(r(x))^2\) and \(g(x)=\overline{f(x)\). Here \(\sigma(x)\) is the sign of \(x\). Notice that \(r\) is not differentiable at \(0\), so neither are \(f\) and \(g\). However \(∣f(x)∣=1\), so \(fg=1\), so \(fg\) is continuously differentiable. All the other properties are easier to check.

Now, to prove that the conjecture does hold for \(f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\). If \(f\) is not differentiable at \(0\), then there exists \(\varepsilon>0\) such that for all \(\delta>0\) there exists \(x\in(-\delta,\delta)\) with \(1-f(x)>\varepsilon|x|\). Since \(∣g(x)∣\leq1\), we then also find \(1-(fg)(x)>\varepsilon|x|\) (for \(x\) small enough such that \(f(x)>0\)). Hence \(fg\) is not differentiable at \(0\).

Answer 2

Tome $f(x)=(1+|x|)^{-0.5}$ entonces $f$ es par y por lo tanto $f(-x)=\overline{f(x)}$ ya que es un valor real. Es fácil ver que $|f(x)|\leq 1$ pero $f$ no es diferenciable en $0.$ Dado que su derivada está acotada para $|x|\geq 1$ la función es uniformemente continua.