Subgrupo reductivo correspondiente a un subdiagrama del diagrama de Dynkin de un grupo simple

Question

Estoy buscando una referencia para el siguiente hecho bien conocido: Para cualquier subdiagrama $\Delta_0$ del diagrama de Dynkin $\Delta=D(G)$ de un grupo simple adjunto $G$ sobre un campo algebraicamente cerrado $k$, existe un subgrupo reductivo de rango maximal $G_0\subset G$ con diagrama de Dynkin $\Delta_0.

Para ser más preciso, estoy buscando una referencia para una prueba del siguiente lema bien conocido:

Lema 1. Sea $G$ un grupo algebraico simple adjunto, conectado, con diagrama de Dynkin $\Delta=D(G)$ sobre un campo algebraicamente cerrado $k$ de cualquier característica. Sea $\Delta_0$ un subdiagrama de $\Delta$ (es decir, un subconjunto $\Pi_0$ del conjunto $\Pi$ de vértices de $\Delta$, junto con todas las aristas de $\Delta$ que conectan pares de vértices de $\Pi_0$). Entonces existe un subgrupo reductivo conectado $k$ de rango maximal $G_0$ de $G$ tal que el grupo semisimple adjunto correspondiente $G_0^{ad}$ tiene diagrama de Dynkin $\Delta_0.

Conozco una prueba sencilla del Lema 1, pero preferiría dar una referencia en lugar de una prueba.

La prueba es la siguiente. Sea $T$ un toro maximal de $G$, y sea $R=R(G,T)$ el sistema de raíces, entonces nuestro $\Pi$ es una base de $R$. Sea $S$ el subgrupo de $T$ ortogonal a $\Pi_0$, entonces es un subtoro de $T$ (porque $G$ es adjunto). Defina $G_0=C_G(S)$, el centralizador de $S$ en $G. Entonces $G_0$ es un subgrupo reductivo conectado de $G. Es fácil ver que el grupo (adjunto) de $G_0$ tiene diagrama de Dynkin $\Delta_0.

Observa que el Lema 1 es un caso especial del siguiente Lema 2, para el cual también me gustaría tener una referencia.

Lema 2. Sea $G$ un grupo algebraico simple adjunto, conectado, sobre un campo algebraicamente cerrado $k$ de cualquier característica. Sea $T$ un toro maximal de $G$, y sea $R=R(G,T)$ el sistema de raíces. Sea $R_0$ un subconjunto simétrico cerrado de $R. Entonces existe un subgrupo reductivo conectado $k$ de rango maximal $G_0$ de $G$ con sistema de raíces $R_0.

Agradeceré cualquier referencia, comentario, etc. (también una prueba del Lema 2).

Mikhail Borovoi

Answer 1

Estimado Mikhail,

Si entiendo correctamente, tu Lema 2 está implícito en SGA 3 Exposé 22, Théorème 5.4.7.

Todo se basa en un espacio general S (que puedes tomar como tu campo cerrado algebraicamente). El tipo de subgrupo que deseas se llama "de tipo (R)" (ver Définition 5.2.1) y un subconjunto de R que corresponde a tal grupo también se llama "de tipo (R)". Ahora, el teorema mencionado arriba dice exactamente que cuando un subconjunto de R es cerrado, es "de tipo (R)", lo que significa exactamente que hay un subgrupo conexo correspondiente en G. Por cierto, Théorème 5.4.7 no asume que el subconjunto sea simétrico, y obtienes cosas como subgrupos de Borel si tomas solo "la mitad" de las raíces. En el caso simétrico, el grupo es reductivo según la Proposition 5.10.1.

Espero que esto te ayude.

Baptiste Calmès

Answer 2

Aquí hay una respuesta breve, que puede ser ampliada más adelante. Ya sea que tu grupo sea de tipo adjunto o no, probablemente no haga mucha diferencia. Trabajos que se remontan a un papel fundamental de Borel y deSiebenthal conducen a información explícita sobre los subgrupos de rango maximal en un grupo reductivo conectado (eventualmente sobre cualquier campo algebraicamente cerrado, aunque al principio solo en característica 0).

Para tu Lema 1, solo necesitas un subgrupo de Levi de un subgrupo parabólico, como se describe en cualquiera de los textos estándar sobre grupos algebraicos lineales (Borel, Springer, o mi libro). Para el Lema 2, las bases fueron establecidas sobre campos bastante generales por Borel y Tits en su artículo de 1965 Grupo reductivos en las Publicaciones matemáticas del IHES. (Tendré que buscar referencias más explícitas). De todas formas, se da un panorama con referencias sobre subgrupos de rango maximal en la sección 2.1 de mi libro de 1995 de la AMS, Clases de Conjugación en Grupos Algebraicos Semisimples (caso algebraicamente cerrado).

En cuanto a la terminología, realmente estás trabajando con subconjuntos del sistema de raíces en cada caso (siendo el diagrama de Dynkin solo una forma de codificar datos sobre las raíces simples elegidas). El Capítulo VI de Bourbaki tiene mucha discusión de sistemas de raíces relacionados con Borel-Tits, por ejemplo, involucrando subconjuntos simétricos.