(Nota: No estoy buscando el polinomio minimal)
Quiero encontrar un polinomio en $\mathbb Q[X]$ que anule $\sqrt[4]{2}+1$.
Hago: $$(\sqrt[4]{2}+1)^2=\sqrt{2}+2\sqrt[4]{2}+1$$ A partir de ahí, o bien sigo aislando el $\sqrt[4]{2}$ y el $\sqrt2$ a la derecha: $$(\sqrt[4]{2}+1)^2-1=\sqrt{2}+2\sqrt[4]{2}$$ y sigo poniendo los números racionales en el lado izquierdo y elevando al cuadrado... pero rápidamente se vuelve tedioso y más largo de lo que pensaba. Por otro lado, si hago : $$(\sqrt[4]{2}+1)^2-1-\sqrt{2}=2\sqrt[4]{2}$$ Rápidamente puedo encontrar un polinomio en $\mathbb Q(\sqrt{2})[X]$ que anula $\alpha$. $$((\sqrt[4]{2}+1)^2-(1+\sqrt{2}))^2=(2\sqrt[4]{2})^2=4\sqrt2$$
Entonces $$P(X)=(X^2-(1+\sqrt2))^2-4\sqrt2$$ que es : $$P(X)=X^4-(2+2\sqrt2)X^2+3-2\sqrt2$$ anula $\sqrt[4]{2}+1$.
Ahora, ¿me ayuda eso a encontrar un polinomio en $\mathbb Q[X]$ que anule $\sqrt[4]{2}+1$ ?
La misma pregunta con $\sqrt[4]{2}+i$ : podemos encontrar fácilmente un polinomio en $\mathbb Q(\sqrt{2})[X]$ que lo anula : (definimos $\alpha=\sqrt[4]{2}$) $$(\alpha +i)^2=\alpha^2+2\alpha i-1$$ $$(\alpha +i)^2+1-\alpha^2=2\alpha i$$ así que $$(X^2-(1-\alpha^2))^2+4\alpha^2$$ que es $$(X^2-(1-\sqrt2))^2+4\alpha^2$$ lo anula.
¿Hay alguna relación entre los polinomios anulantes en $\mathbb Q[X]$ y los de $\mathbb Q(\sqrt{2})[X]$ ? O de una manera más general, ¿saber de un polinomio anulante en una extensión intermedia ayuda a encontrar uno en el primer campo ? (Como, si $K\subset L\subset M$, ¿saber de un polinomio anulante de un elemento de $M$ sobre $L$ ayuda a encontrar uno sobre $K$ ?
