Pregunta sobre aritmética modular y divisibilidad

Question

Si $$a^3+b^3+c^3=0\pmod 7$$ Calcula el residuo después de dividir $abc$ entre $7$

Mis primeras ideas aquí fue probar los 7 posibles residuos y luego elevar al cubo $$a+b+c=x \pmod 7$$ $$a^3+b^3+c^3+3(a+b+c)(ab+bc+ac)-3abc=x^3\pmod 7$$ $$3(a+b+c)(ab+bc+ac)-3abc=x^3 \pmod 7$$ Si reemplazo $x=0$ el resultado es inmediato, $abc=0 \pmod7$. Pero con $x=1$ $$3(7n+1)(ab+bc+ac)-3abc=x^3 \pmod 7$$ $$3(ab+bc+ac)-3abc=x^3 \pmod 7$$ Y no hay nada más que simplificar. Sé que el LHS es un múltiplo de $3$, ¿pero qué puedo hacer con eso? ¿Es necesario que $x^3$ o $7-x^3$ sea un múltiplo de $3$? Cualquier ayuda es muy apreciada

Answer 1

Si uno de $a, b, c$ es divisible por $7$, entonces $abc\equiv0\pmod 7$

De lo contrario

$n^3\equiv \begin{cases} 1 &\mbox{si } n \equiv 1,2,4\pmod 7 \\ -1 &\mbox{si } n \equiv 3,5,6\pmod 7 \end{cases} \pmod 7$

Observa que para ninguna combinación de $a, b, c$ se cumple que $$a^3+b^3+c^3\equiv0\pmod 7$$

$$\implies a^3+b^3+c^3\equiv0\pmod 7\implies 7\text{ debe dividir al menos uno (o los tres) de } a, b, c $$

Answer 2

Pista: ¿Cuáles son los posibles cubos en módulo 7? Por lo tanto, ¿qué combinaciones de estos cubos permiten que $a^3+b^3+c^3=0$ (módulo 7)? A partir de esto, $abc$ (módulo 7) debería estar claro.