¿El Teorema 9.1 del documento Analytic.pdf de Clausen-Scholze, en vista de conjuntos condensados de luz, AKA es más fácil el Experimento del Tensor Líquido ahora?

Question

En la reciente serie de conferencias conjuntas de IHÉS y Bonn, Clausen y Scholze han vuelto a trabajar en sus fundamentos de geometría para centrar la atención no en conjuntos condensados arbitrarios y módulos sólidos, sino en la clase mucho más pequeña de conjuntos condensados y demás. Estos son suficientes para capturar fielmente todos los espacios secuenciales, por ejemplo, que es una clase muy grande de espacios que contiene todos los complejos CW, espacios métricos, variedades (de dim finita) etc. Además, la categoría de conjuntos condensados es un topos de Grothendieck honesto, mientras que la categoría de todos los conjuntos condensados está cerca de serlo, pero en su lugar tiene una clase propia generadora, no un conjunto.

Las demostraciones en la teoría de grupos abelianos sólidos y módulos sólidos se volvieron mucho, mucho más agradables como resultado, debido al hecho de que hay un objeto genérico muy agradable en la categoría de grupos abelianos condensados ligeros (libre en una secuencia nula) que es proyectivo en esa categoría, pero no en la categoría de todos los grupos abelianos condensados.

Lo interesante sería saber si este nuevo formalismo arroja alguna luz similar sobre la construcción del(is) producto(s) tensor l{í/i}quido(s), haciendo la teoría y las demostraciones más f{á/a}ciles. He visto casi todas las series de conferencias mencionadas anteriormente, pero no recuerdo que esto surgiera o fuera mencionado. Lo que se discutió fue una nueva condición de completitud an{á/a}loga a s{ó/o}lido/l{í/i}quido, llamada "gaseoso", pero no s{é/e} si esto ayuda en absoluto con la teoría l{í/i}quida en cuanto a simplificar lo que el Experimento Tensorial L{í/i}quido necesitaba mostrar.

A diferencia de los cursos de conferencias anteriores sobre matemáticas condensadas, no hay un conjunto continuo de notas de conferencia, sino que Clausen y Scholze aparentemente están escribiendo un libro sobre este material. Así que no hay material escrito adicional para revisar.

Answer 1

¡Buena pregunta!

Hemos estado tratando de resolver esto a medida que avanzamos, pero hasta ahora sin éxito. Algunos puntos más precisos:

1. Para muchas (pero definitivamente no todas) aplicaciones a la geometría sobre los números reales, los espacios vectoriales reales gaseosos funcionan igual de bien, y su teoría es mucho más fácil de empezar que los espacios vectoriales reales líquidos. (A grosso modo, espacios complejos o analíticos reales están bien con espacios vectoriales gaseosos, variedades suaves no tanto. La razón es que los produtos tensoriales de espacios de funciones holomorfas o analíticas reales se comportan correctamente bajo el producto tensorial gaseoso, pero los productos tensoriales de espacios de funciones $C^\infty$ solo son correctos bajo el producto tensorial líquido.) Este es el camino que hemos tomado en el curso.

2. Creemos que hay una forma de caracterizar (ligeramente) los espacios vectoriales reales líquidos de una forma cercana a cómo caracterizamos módulos sólidos o gaseosos, en términos de ciertos endomorfismos de este módulo libre $P$ sobre una nulosecuencia para que se conviertan en isomorfismos. Sin embargo, en este caso no podemos ver ninguna forma simple de calcular el funtor de completamiento resultante.

3. Si uno pudiera probar que hay una buena teoría de espacios vectoriales reales líquidos, el resultado completo seguiría. Más precisamente, el Teorema 9.1 se reduce de forma bastante formal al entorno ligero.

Resumen: Hasta ahora, la teoría de los espacios vectoriales reales líquidos sigue siendo igual de difícil que antes.