Asíntotas de $\max\limits_{1\leqslant k\leqslant n}X_k/n$

Question

Encontré una afirmación en este documento al comienzo de la página 6, pero no puedo ver cómo justificarla: Sea $X_n \geq 0$ i.i.d. con expectativa finita entonces: $$ \frac1n\max\limits_{k \leq n}X_k \to 0 \quad\text{casi seguramente cuando } \,n \to \infty$$

Como Davide publicó hay una convergencia en probabilidad a cero. Me preguntaba si es evidente que también tenemos convergencia casi segura.

Answer 1

Sea $M_n=n^{-1}\cdot\max\limits_{1\leqslant k\leqslant n}X_k$ para alguna secuencia integrable no negativa e idénticamente distribuida $(X_n)_n$, entonces $M_n\to0$ casi seguramente. (No se necesita la independencia de la secuencia $(X_n)_n.)

Para demostrar esto, sea $x\gt0$. Si $X_n\leqslant nx$ para cada $n$ lo suficientemente grande, digamos para cada $n\geqslant N$, entonces $nM_n\leqslant NM_N+nx$ para cada $n\geqslant N$ y en particular $\limsup\limits_{n\to\infty}M_n\leqslant x$. Por lo tanto, $$ [\limsup\limits_{n\to\infty}M_n\geqslant2x]\subseteq A_x,\qquad A_x=\limsup\limits_{n\to\infty}A^n_x,\qquad A^n_x=[X_n\geqslant nx]. $$ La secuencia $(X_n)_n$ es idénticamente distribuida, por lo tanto $$ \sum_{n\geqslant1}P[A_x^n]=\sum_{n\geqslant1}P[X_1\geqslant nx]\leqslant x^{-1}E[X_1], $$ lo cual es finito. Por el lema de Borel-Cantelli (parte fácil), $P[A_x]=0$. Esto se cumple para cada $x\gt0$ por lo tanto $\limsup\limits_{n\to\infty}M_n=0$ casi seguramente. Dado que cada $M_n\geqslant0$ casi seguramente, se sigue la conclusión.

Editar: Para mostrar la cota superior de la serie, nota que, para cada $\xi$ no negativo, $$ \sum_{n\geqslant1}\mathbf 1_{\xi\geqslant nx}=\lfloor x^{-1}\xi\rfloor\leqslant x^{-1}\xi, $$ e integra esta desigualdad puntualmente sobre $\xi$ con respecto a la distribución de $X_1$.