Álgebra lineal - Demostración de una proyección dada una transformación lineal

Question

Supongamos que $V$ es un espacio vectorial, y $M$ es un subespacio de $V$.

Una transformación $P:V \rightarrow V$ es llamada la proyección de $V$ sobre $M$ si

(i) existe un subespacio $N$ tal que cada vector $v \in V$ puede ser escrito de forma única como $v = x + y$ para algún $x \in M$ y $y \in N$; y

(ii) $P$ está definida por $P(x + y) = x$, para todo $x \in M$ y $y \in N$.

Supongamos que $P:V \rightarrow V$ es una transformación lineal. Demuestra que $P$ es una proyección sobre algún subespacio de $V$ si y solo si $P^2 = P$.

¿Cómo puedo demostrar que la transformación lineal de $P$ proyecta sobre un subespacio de $V$ si y solo si $P^2 = P$?

Answer 1

Pista:

$\Rightarrow $

$P^2(v)=P^2(x+y)=P(x)=P(v)\,,\forall v$

$\Leftarrow $

Sea $M=\operatorname{im}P$ y $N=\operatorname{ker}P$.

Answer 2

Toma $M=P(V)$ y $N=\ker P$. Entonces, para cada $v\in V$,$$v=\overbrace{v-P(v)}^{\in N}+\overbrace{P(v)}^{\in M}.$$Nota que $v-P(v)\in\ker P$ porque$$P\bigl(v-P(v)\bigr)=P(v)-P^2(v)=P(v)-P(v)=0.$$Por otro lado, si $v=x+y$, con $x\in M y $y\in N$, entonces $x=P(x')$ para el mismo vector $x'$. Así,$$P(v)=P(x)+P(y)=P^2(x')=P(x')=x$$y$$y=v-x=v-P(v).$$