¿El agua en la tubería conectada en la parte inferior del tanque de agua se ralentizará o acelerará al vaciarse?

Question

Fuera de la tubería hay presión atmosférica como encima de la superficie del agua en el contenedor.

¿Cómo serán las ecuaciones diferenciales - velocidad del fluido en la tubería y x(t)? El agua en la tubería, hasta que se vacíe, está sujeta a una fuerza constantemente decreciente pero no nula, y al mismo tiempo la masa de agua en la tubería está constantemente aumentando. Para simplificar, A1>>>A2, por lo que la velocidad del fluido en el tanque de agua en comparación con el fluido en la tubería es insignificante

Supongo que de alguna manera las ecuaciones pueden derivarse de la transferencia de energía, es decir, d Ep / dt = - d Ek / dt, pero en el término de energía cinética tenemos que tener en cuenta la dependencia temporal de la masa m(t).

Suponemos que no hay fricción en la tubería. También podemos asumir que al principio toda la energía se acumula en la energía potencial en el tanque de agua

P.D. 1 ¿Podemos hablar de flujo constante en todo el intervalo de tiempo "largo"? Después de todo, la velocidad depende de la altura del agua en el tanque, que cambia con el tiempo.

P.D. 2 ¿Cómo se puede ver este sistema? Por un lado, mi intuición me dice que la energía es constante en cualquier punto del flujo del fluido, pero por otro lado, parecerá como si una parte del sistema (tanque) transfiriera energía a otra parte (tubería). Analógico al fluido oscilante en un sistema tanque-tubería-tanque

Answer 1

No es difícil obtener la ED relacionando la altura, $y$, del agua en el tanque (altura inicial, $y_0$), con el tiempo $t$ desde la liberación en la tubería, si asumimos que el flujo en la tubería es lo suficientemente lento como para ser laminar, y que la tasa de adquisición de energía cinética es despreciable en comparación con el trabajo realizado por segundo contra las fuerzas resistivas (viscosas).

En ese caso podemos usar la fórmula de Poiseuille para $\Phi$, la tasa volumétrica de flujo de agua a través de la tubería, en términos de la diferencia de presión, $\rho gy$, entre los extremos de la longitud de agua, $x$, en la tubería.

Dado que el volumen de agua se conserva, para una tubería de radio interno $r$ alimentada desde un tanque de área transversal interna $A_1$, tenemos $$\pi r^2 (x-x_0)=A_1(y_0-y)$$ Aquí, $x_0$ es la longitud de agua en la tubería en el tiempo $t=0$.

También, $$\Phi=\pi r^2\frac{dx}{dt}=\ –A_1\frac{dy}{dt}.$$ Ahora deberías ser capaz de plantear la ED. Encuentro que $$\frac{dy}{dt}=\ -\frac{\pi r^4 \rho g y}{8A\eta x}\ \ \ \ \ \text{en el que}\ \ \ \ \ x=\frac{A(y_0-y)}{\pi r^2}+x_0$$

No puedo resolver esta ED analíticamente. Sin embargo, es fácil dar una respuesta cualitativa a la pregunta planteada en tu título: la tasa de flujo disminuirá porque el gradiente de presión a lo largo de la longitud del agua en el tubo disminuirá. Esto ocurre por dos razones: la diferencia de presión, $y\rho g$, entre sus extremos disminuye, ¡y la longitud, $x$, aumenta!

¿Por qué no ponemos $x_0=0$? En otras palabras, ¿por qué no asumimos que no hay agua en el tubo en $t=0$? En ese caso, según nuestra ecuación, $\frac{dy}{dt}$ y$\frac{dx}{dt}$ serían infinitos en $t=0$. La ecuación de Poiseuille no sería aplicable en $t=0$ y justo después, ya que la tasa de flujo infinita que predice es antifísica.

Por otro lado, poner $x_0=0$ haría que nuestra ecuación sea mucho más limpia, es decir: $$\frac{dy}{dt}=\ -\frac{v_1 y}{y_0-y}\ \ \ \ \ \text{en el que}\ \ \ \ \ v_1=\frac{\pi^2 r^6 \rho g)}{8A^2 \eta}$$ Esta ecuación no se mantendría inmediatamente después de que el agua se libere en el tubo.