¿Cómo se calcula el límite de la sucesión $e^{-(n^\frac{1}{2})}{(n+1)^{100}}$?

Question

¿La secuencia $e^{-(n^\frac{1}{2})}{(n+1)^{100}}$ converge? Si es así, ¿cuál es el límite?

Lo que intenté: Expandiendo $${(n+1)^{100}}= 1+^{100}C_1n+^{100}C_2{n^2}+^{100}C_3{n^3}+ \dots + ^{100}C_{100}{n^{100}}$$ Multiplicando cada término por $e^{-(n^\frac{1}{2})}$ y tomando límites usando la Regla de L'Hôpital obtenemos que el límite de la secuencia es 0, pero es un método largo y no considero que sea el adecuado. [De hecho, aplicando la Regla de L'Hôpital dos veces a cada término nos da el término precedente (Lo verifiqué hasta $[n^3e^{-(n^\frac{1}{2})}$] y por lo tanto, el límite será 0 porque lim($e^{-(n^\frac{1}{2})})=0$]
¿Alguien puede decirme si este método es correcto para resolver el problema y por favor sugerirme un método adecuado si lo hay? Gracias.

La respuesta es que el límite de la secuencia es 0

Answer 1

Sí, el límite final es cero. Tenga en cuenta que a medida que $n\to +\infty$ $$e^{-\sqrt{n}}{(n+1)^{100}}=\exp\left({-\sqrt{n}\underbrace{\left(1-\frac{100\ln(n+1)}{\sqrt{n}}\right)}_{\to 1}}\right)\to0$$ porque, por ejemplo, al usar L'Hopital, $$\lim_{n\to +\infty}\frac{\ln(n+1)}{\sqrt{n}}=0.$$

Answer 2

Establece $m^2=n$ y obtienes el producto de un exponencial negativo por un polinomio de grado $200$. El exponencial siempre gana.

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No te dejes impresionar por este exponente,

$$\sqrt[100]{e^{-m}(m^2+1)^{100}}=e^{-m/100}(m^2+1)=10000\,e^{-k}k^2+e^{-k}.$$

Como $e^{-k}\to 0$, finalmente puedes reducirlo a

$$e^{-j}j.$$

Answer 3

Considerar

$$f(x)=e^{-(x^\frac{1}{2})}{(x+1)^{100}}$$

y por $x=y^2\to \infty$

$$e^{-(x^\frac{1}{2})}{(x+1)^{100}}=\frac{(y^2+1)^{100}}{e^y}\to 0$$

de hecho para cualquier $m€\mathbb N$

$$\frac{y^m}{e^y}\to 0$$

para lo cual puede consultar lo relacionado

• ¿Cómo demostrar que el exponencial crece más rápido que un polinomio?

Answer 4

Si conoces la expansión de $e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...$ $$\lim_{n \to \infty} e^{-(\sqrt n)}{(n+1)^{100}}=\\ \lim_{n \to \infty} \frac{{(n+1)^{100}}}{e^{\sqrt n}}=\\ \lim_{n \to \infty} \frac{{(n+1)^{100}}}{1+\sqrt{n}+\frac{(\sqrt{n})^2}{2!}+\frac{\sqrt{n}^3}{3!}+...+\frac{\sqrt{n}^{201}}{201!}+....}\to 0\\$$

Answer 5

Sea $n=u^2$, entonces $$L=\lim_{u \rightarrow \infty} u^{200} e^{-u} (1+\frac{1}{u^2})^{100} =\lim u^{200} e^{-u}= \lim_{u\rightarrow \infty}\frac{u^{200}}{e^u} \rightarrow \frac{0}{0}.$$ Aplica la Regla de L'Hôpital D. T. C. con respecto a $u$ hacia arriba y hacia abajo por separado 200 veces para obtener $$\lim_{u \rightarrow \infty} \frac{200! u^0}{e^u}=\lim _{u \rightarrow \infty} 200!~ e^{-\infty}=0.$$