Convertir expresión booleana en SOP y POS

Question

Convierte la siguiente expresión en formas canónicas SOP (suma de productos) y POS (producto de sumas) utilizando el método del álgebra booleana:

$(ac + b)(a + b'c) + ac$

Intento de solución:

$(ac + b)(a + b'c) + ac$

1. $(a + b)(c + b)(a + b')(a + c) + ac$

2. $...$

3. $...$

Estoy atascado en este punto. Cualquier ayuda sería muy apreciada. Gracias.

Answer 1

Una forma de obtener el formulario SoP es comenzando por multiplicar todo, usando la ley distributiva:

$$\begin{align*} (ac+b)(a+b'c)+ac&=ac(a+b'c)+b(a+b'c)+ac\\ &=aca+acb'c+ba+bb'c+ac\\ &=ac+ab'c+ab+ac\\ &=ac+ab'c+ab\;. \end{align*}$$

Luego asegúrese de que cada término contenga cada uno de $a,b$ y $c$ usando el hecho de que $x+x'=1$:

$$\begin{align*} ac+ab'c+ab&=ac(b+b')+ab'c+ab(c+c')\\ &=abc+ab'c+ab'c+abc+abc'\\ &=abc+ab'c+abc'\;. \end{align*}$$

Alternativamente, puedes hacer lo que equivale a una tabla de verdad para la expresión:

$$\begin{array}{cc} a&b&c&ac+b&b'c&a+b'c&ac&(ac+b)(a+b'c)+ac\\ \hline 0&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&1&0&1&1&0&0\\ 0&1&0&1&0&0&0&0\\ 0&1&1&1&0&0&0&0\\ 1&0&0&0&0&1&0&0\\ 1&0&1&1&0&1&1&1\\ 1&1&0&1&1&1&0&1\\ 1&1&1&1&0&1&1&1 \end{array}$$

Ahora encuentra las filas en las que la expresión se evalúa como $1$; aquí son las últimas tres filas. Para un producto para cada una de esas filas; si $x$ es una de las variables, usa $x$ si aparece con un $1$ en esa fila, y usa $x'$ si aparece con un $0$. Así, las últimas tres filas producen (en orden de arriba hacia abajo) los términos $ab'c$, $abc'$ y $abc$.

Puedes usar la tabla de verdad para obtener el PoS también. Esta vez usarás las filas en las que la expresión se evalúa como $0$ — en este caso las primeras cinco filas. Cada fila te dará un factor $x+y+z$, donde $x$ es $a$ o $a'$, $y$ es $b$ o $b'$, y $z$ es $c$ o $c'$. Esta vez usamos la variable si aparece en esa fila con un $0$, y usamos su negación si aparece con un $1$. Así, la primera fila produce la suma $a+b+c$, la segunda produce la suma $a+b+c'$, y en total obtenemos

$$(a+b+c)(a+b+c')(a+b'+c)(a+b'+c')(a'+b+c)\;.\tag{1}$$

Un procedimiento equivalente que no utiliza la tabla de verdad es comenzar por usar las leyes de De Morgan para negar (invertir) la expresión original:

$$\begin{align*} \Big((ac+b)(a+b'c)+ac\Big)'&=\Big((ac+b)(a+b'c)\Big)'(ac)'\\ &=\Big((ac+b)'+(a+b'c)'\Big)(a'+c')\\ &=\Big((ac)'b'+a'(b'c)'\Big)(a'+c')\\ &=\Big((a'+c')b'+a'(b+c')\Big)(a'+c')\\ &=(a'b'+b'c'+a'b+a'c')(a'+c')\\ &=a'b'(a'+c')+b'c'(a'+c')+a'b(a'+c')+a'c'(a'+c')\\ &=a'b'+a'b'c'+a'b'c'+b'c'+a'b+a'bc'+a'c'+a'c'\\ &=a'b'+a'b'c'+b'c'+a'b+a'bc'+a'c+a'c'\\ &=a'b'+b'c'+a'b+a'(c+c')\\ &=a'b+b'c'+a'b+a'\;, \end{align*}$$

donde en los últimos pasos utilicé la ley de absorción $x+xy=x$ varias veces. Ahora encuentra la forma SoP de esto:

$$\begin{align*} b'c'+a'&=b'c'(a+a')+a'(b+b')(c+c')\\ &=ab'c'+a'b'c'+a'b(c+c')+a'b'(c+c')\\ &=ab'c'+a'b'c'+a'bc+a'bc'+a'b'c+a'b'c'\\ &=ab'c'+a'b'c'+a'bc+a'bc'+a'b'c\;. \end{align*}$$

Ahora niega (invierte) esta última expresión, y tendrás la forma PoS de la expresión original:

$$\begin{align*} (ab'c'&+a'b'c'+a'bc+a'bc'+a'b'c)'\\ &=(ab'c')'(a'b'c')'(a'bc)'(a'bc')'(a'b'c)'\\ &=(a'+b+c)(a+b+c)(a+b'+c')(a+b'+c)(a+b+c')\;, \end{align*}$$

que es por supuesto lo mismo que $(1)$, aunque los factores aparecen en un orden diferente.