Resolver $2 \cos^2 x + \sin x = 1$ para todos los posibles $x$

Question

$2\cos^2 x+\sin x=1$

$\Rightarrow 2(1-\sin^2 x)+\sin x=1$

$\Rightarrow 2-2 \sin^2 x+\sin x=1$

$\Rightarrow 0=2 \sin^2 x- \sin x-1$

Y así:

$0 = (2 \sin x+1)(\sin x-1)$

Entonces tenemos que encontrar las soluciones de cada uno de estos factores por separado:

$2 \sin x+1=0$

$\Rightarrow \sin x=\frac{-1}{2}$

y así $x=\frac{7\pi}{6},\frac{11\pi}{6}$

Resolviendo para el otro factor,

$\sin x-1=0 \Rightarrow \sin x=1$

Y así $x=\frac{\pi}{2}$

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Ahora hemos encontrado todas nuestras soluciones base, y por lo tanto TODAS las soluciones se pueden escribir así:

$x= \frac{7\pi}{6} + 2\pi k,\frac{11\pi}{6} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k$

Answer 1

Sí, tu solución es muy buena y correcta, como una alternativa ligeramente diferente

$$2\cos^2(x)+\sin (x)=1 \iff 2(1-\sin x)(1+\sin x)+\sin x-1=0 $$

$$\iff (\sin x-1)(-2-2\sin x)+(\sin x-1)=0 \iff (\sin x-1)(-1-2\sin x)=0$$

lo que de hecho conduce a las mismas soluciones, o también desde aquí por $t=\sin x$

$$2-2 \sin^2 x+\sin x=1 \iff 2t^2-t-1=0$$

$$t_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt{9}}{4}=1, -\frac12$$

Answer 2

Su método está bien, la respuesta es correcta. La única mejora que puedo sugerir es hacer que la definición de "solución base" sea clara desde el principio. Cada "y así" actúa como si un valor específico de $\sin x$ tuviera un número finito de soluciones en lugar de un número finito por período, por lo que antes de obtenerlos deberías mencionar una restricción a $[0,\,2\pi)$ y luego extender a $\Bbb R$ al final.

Answer 3

Otra forma es utilizando identidades de ángulo doble y suma-producto

\begin{eqnarray*} 2\cos^2x+\sin x& = & 1 \\ 2\cos^2x-1+\sin x& = & 0\\ \cos(2x)+\sin x& = & 0\\ \cos(2x)+\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right) & = & 0\\ 2\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(\frac{3x}{2}-\frac{\pi}{4}\right) & = & 0\\ \end{eqnarray*}

Answer 4

$2\cos^2(x)+\sin(x)=1$

Usando $2\cos^2(x)-1=\cos(2x)$ tenemos $\cos(2x)=-\sin(x)=\cos(\pi/2+x).$

Por lo tanto $2x=\pm(\pi/2+x)+2n\pi$, $n\in\mathbb{Z}$ y $x=\pi/2+2n\pi$ o $x=-\pi/6+2n\pi/3.$ La segunda expresión se puede reescribir como $-\pi/6\pm2\pi/3+2k\pi$ o $-\pi/6+2k\pi$ dando las tres soluciones

\begin{align} x&=\pi/2+2n\pi\\x&=-\pi/6+2k\pi=11\pi/6+2k\pi\\x&=-5\pi/6+2k\pi=7\pi/6+2k\pi\\ \end{align}

Nota que una de las soluciones de la segunda expresión, $-\pi/6+2\pi/3+2k\pi=\pi/2+2k\pi$, se absorbe en la primera de las tres soluciones. Esto sucede porque esta es una raíz doble, tangente al eje x - ver gráfico de Wolfrom Alpha: