¿Esta función no constante es periódica para cada número definible?

Question

Dado el conjunto $\mathbb{D}$ que contiene todos los números reales definibles. La definición no debe ser infinitamente larga. Por ejemplo, contiene $12$, $-3$, $\frac{1}{12}$, $\sqrt{2}$, $\pi^2$, $i+e$, la constante de Chaitin y muchos otros números.

$$ f(x)= \begin{cases} 1 &\quad\text{si }x\in\mathbb{D}\\ 0 &\quad \text{en otro caso} \end{cases} $$

¿Es cierto que esta función es periódica para cada número que pueda ser nombrado/especificado por cualquier persona (lo cual es equivalente al conjunto $\mathbb{D}$, o no lo es?)?

Muchas gracias

Answer 1

Hay algunas sutilezas enterradas en el concepto de "número definible". ¿Qué significa exactamente para ti?

Si llamas a un número "definible" si satisface una fórmula $\varphi(x)$ en el lenguaje de la teoría de conjuntos tal que $\forall x\forall y(\varphi(x)\land\varphi(y)\to x=y)$ es verdadero, entonces te encuentras con el problema de que "definible" no es en sí mismo una propiedad que se pueda expresar en teoría de conjuntos. Por lo tanto, tu $\mathbb D$ puede que no exista en absoluto. (O puede ser, en un modelo lo suficientemente pequeño de ZFC, igual a $\mathbb C$ mismo, de modo que tu $f$ es realmente constante).

Por otro lado, puedes hablar sobre la definibilidad en algún lenguaje particular restringido, como $(\mathbb C,\mathbb R,\mathbb Z,0,1,+,\cdot)$. Entonces, no todo lo que puedas describir usando la libre teoría de conjuntos será definible, pero los ejemplos que des, si el lenguaje es lo suficientemente rico, sí lo serán, como el sugerido anteriormente. Y en ese caso, entonces sí: Cada número definible es un periodo para tu función.