Informática $\zeta(6)=\sum\limits_{k=1}^\infty \frac1{k^6}$ con series de Fourier.

Question

Dejemos que $f$ sea una función tal que $f\in C_{2\pi}^{0}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ (f es $2\pi$ -periódica) tal que $\forall x \in [0,\pi]$ : $$f(x)=x(\pi-x)$$

Cálculo de la serie de Fourier de $f$ y utilizando la identidad de Parseval, he calculado $\zeta(2)$ y $\zeta(4)$ .

¿Cómo puedo calcular $\zeta(6)$ ¿Ahora?

Serie de Fourier de $f$ :

$$S(f)= \frac{\pi^2}{6}-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(2nx)}{n^2}$$

$$x=0, \zeta(2)=\pi^2/6$$

Answer 1

Un método consiste en considerar la función generadora de $\zeta(2k)$ : $$\begin{align} f(x) &=\sum_{k=1}^\infty\zeta(2k)\,x^{2k}\\ &=\sum_{k=1}^\infty\sum_{n=1}^\infty\frac{x^{2k}}{n^{2k}}\\ &=\sum_{n=1}^\infty\frac{x^2/n^2}{1-x^2/n^2}\\ &=\sum_{n=1}^\infty\frac{x^2}{n^2-x^2}\\ &=-\frac{x}{2}\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{x-n}+\frac{1}{x+n}\right)\\ &=-\frac{x}{2}\left(\pi\cot(\pi x)-\frac1x\right)\\ &=\frac12(1-\pi x\cot(\pi x))\tag{1} \end{align}$$ A la luz de la ecuación $(1)$ , hallar la serie de potencias de $$x\cot(x)=\sum_{k=0}^\infty a_kx^{2k}$$ $$\cos(x)=\frac{\sin(x)}{x}\sum_{k=0}^\infty a_kx^{2k}$$ $$\begin{align} \sum_{n=0}^\infty(-1)^n\!\frac{x^{2n}}{(2n)!} &=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\!\frac{x^{2n}}{(2n+1)!}\;\;\sum_{k=0}^\infty a_kx^{2k}\\ &=\sum_{n=0}^\infty\left(\sum_{k=0}^n(-1)^k\!\frac{a_{n-k}}{(2k+1)!}\right)x^{2n}\tag{2} \end{align}$$ Comparando los coeficientes de las potencias de $x$ en $(2)$ rinde $$\begin{align} a_n &=\frac{(-1)^n}{(2n)!}-\sum_{k=1}^n(-1)^k\!\frac{a_{n-k}}{(2k+1)!}\\ &=\frac{(-1)^n2n}{(2n+1)!}-\sum_{k=1}^{n-1}(-1)^k\!\frac{a_{n-k}}{(2k+1)!}\tag{3} \end{align}$$ Desde $a_n=-2\dfrac{\zeta(2n)}{\pi^{2n}}$ para que sea positivo $n$ , $(3)$ se convierte en $$\zeta(2n)=\frac{(-1)^{n-1}\pi^{2n}}{(2n+1)!}n+\sum_{k=1}^{n-1}\!\frac{(-1)^{k-1}\pi^{2k}}{(2k+1)!}\zeta(2n-2k)\tag{4}$$ Ecuación $(4)$ da $\zeta(2n)$ de forma recursiva para los positivos $n$ : $$\begin{align} \zeta(2)&=\frac{\pi^2}{3!}=\frac{\pi^2}{6}\\ \zeta(4)&=-\frac{\pi^4}{5!}2+\frac{\pi^2}{3!}\zeta(2)=\frac{\pi^4}{90}\\ \zeta(6)&=\frac{\pi^6}{7!}3-\frac{\pi^4}{5!}\zeta(2)+\frac{\pi^2}{3!}\zeta(4)=\frac{\pi^6}{945}\\ \zeta(8)&=-\frac{\pi^8}{9!}4+\frac{\pi^6}{7!}\zeta(2)-\frac{\pi^4}{5!}\zeta(4)+\frac{\pi^2}{3!}\zeta(6)=\frac{\pi^8}{9450} \end{align}$$

Answer 2

He publicado aquí en portugués un método recursivo basado en el cálculo de la expansión de la serie trigonométrica de Fourier para la función definida en $\left[ -\pi ,\pi \right]$ por $f(x)=x^{2p}$ y se extendió a todos los ${\mathbb R}$ periódicamente con el período $2\pi.$ Esta es una descripción más corta que la original. En este respuesta esbozo del caso $\zeta(4)$ . Para $p=3$ la expansión es

$$x^{6}=\dfrac{\pi ^{6}}{7}+2\displaystyle\sum_{n\ge 1}^{}\left( \left( \dfrac{6}{n^{2}}\pi ^{4}-\dfrac{120}{n^{4}}\pi ^{2}+\dfrac{720 }{n^{6}}\right)\cos n\pi \right) \cos nx.\tag{1}$$

El cálculo es el siguiente:

$$\begin{equation*} f(x)=x^{2p}=\frac{a_{0,2p}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }\left( a_{n,2p}\cos nx+b_{n,2p}\sin nx\right) , \end{equation*}$$ donde los coeficientes vienen dados por las siguientes integrales $$\begin{eqnarray*} a_{0,2p} &=&\frac{1}{\pi }\int_{-\pi }^{\pi }x^{2p}\;\mathrm{d}x=\frac{2\pi ^{2p}}{2p+1}, \\ a_{n,2p} &=&\frac{1}{\pi }\int_{-\pi }^{\pi }x^{2p}\cos nx\;\mathrm{d}x=\frac{2}{\pi } \int_{0}^{\pi }x^{2p}\cos nx\;\mathrm{d}x, \\ b_{n,2p} &=&\frac{1}{\pi }\int_{-\pi }^{\pi }x^{2p}\sin nx\;\mathrm{d}x=0. \end{eqnarray*}$$ La expansión de la serie es así $$\begin{equation*} x^{2p}=\frac{\pi ^{2p}}{2p+1}+\frac{2}{\pi }\sum_{n=1}^{\infty }\cos nx\int_{0}^{\pi }x^{2p}\cos nx\;\mathrm{d}x.\tag{2} \end{equation*}$$ Para $f(\pi )=\pi ^{2p}$ obtenemos $$\begin{equation*} \pi ^{2p}=\frac{\pi ^{2p}}{2p+1}+\frac{2}{\pi }\sum_{n=1}^{\infty }\cos n\pi \int_{0}^{\pi }x^{2p}\cos nx\;\mathrm{d}x, \end{equation*}$$ donde la integral $$\begin{equation*} I_{n,2p}:=\int_{0}^{\pi }x^{2p}\cos nx\;\mathrm{d}x \end{equation*}$$ satisface la siguiente recurrencia, como puede demostrarse por integración por partes $$\begin{equation*} I_{n,2p}=\frac{2p}{n^{2}}\pi ^{2p-1}\cos n\pi -\frac{2p(2p-1)}{n^{2}} I_{n,2\left( p-1\right) },\qquad I_{n,0}=0.\tag{3} \end{equation*}$$

• Para $p=1$ obtenemos $$\begin{equation*} I_{n,2}=\frac{2}{n^{2}}\pi\cos n\pi. \end{equation*}$$ y $$\begin{eqnarray*} \pi ^{2} &=&\frac{\pi ^{2}}{3}+\frac{2}{\pi }\sum_{n=1}^{\infty }\cos n\pi \cdot I_{n,2} \\ &=&\frac{\pi ^{2}}{3}+\frac{2}{\pi }\sum_{n=1}^{\infty }\cos n\pi \left( \frac{2}{n^{2}}\pi \cos n\pi \right) \\ &=&\frac{\pi ^{2}}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{2}} \\ &\Rightarrow &\zeta (2)=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi ^{2}}{6 } \end{eqnarray*}$$
• Para $p=2$ obtenemos $$\begin{equation*} I_{n,4}=\left( \frac{4\pi ^{3}}{n^{2}}-\frac{24\pi }{n^{4}}\right) \cos n\pi \end{equation*}$$ y $$\begin{eqnarray*} \pi ^{4} &=&\frac{\pi ^{4}}{5}+\frac{2}{\pi }\sum_{n=1}^{\infty }\cos n\pi \cdot I_{n,4}=\frac{\pi ^{4}}{5}+\frac{4\pi ^{4}}{3}-48\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n^{4}} \\ &\Rightarrow &\zeta (4)=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{4}}=\frac{\pi ^{4}}{ 90}. \end{eqnarray*}$$
• Finalmente para $p=3$ obtenemos $$\begin{equation*} I_{n,6}=\left( \frac{6\pi ^{5}}{n^{2}}-\frac{120\pi ^{3}}{n^{4}}+\frac{720}{ n^{6}}\right) \cos n\pi \end{equation*}$$ y $$\begin{equation*} \pi ^{6}=\frac{\pi ^{6}}{7}+2\sum_{n=1}^{\infty }\left( \frac{6\pi ^{4}}{ n^{2}}-\frac{120\pi ^{2}}{n^{4}}+\frac{720}{n^{6}}\right), \end{equation*}$$ de lo que se deduce el resultado $$\zeta(6)= \begin{equation*} \sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{6}}=\frac{\pi ^{6}}{945}. \end{equation*}$$

Parcelas de la función periódica definida en $\left[ -\pi ,\pi \right]$ por $f(x)=x^{6}$ (curva azul) y de la suma parcial con los 10 primeros términos de su serie trigonométrica de Fourier (curva roja).

Este método genera recursivamente la secuencia $(\zeta(2p))_{p\ge 1}$ .

Answer 3

Puede empezar con (para $x \in [0,1]$ )
$$B_1(x)=x-\frac 12=2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2\pi n}\sin\left(2\pi n\left(x-\frac 12\right)\right)$$

e integrar varias veces $x-\frac 12$ (¡añadiendo la constante necesaria cuando sea necesario!) para obtener :

$$B_{2k}(x)=2(-1)^k\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2\pi n)^{2k}}\cos\left(2\pi n\left(x-\frac 12\right)\right)$$ (esto se detalla en este papel página 6)

También puede utilizar la siguiente fórmula $$\cot(\pi z)=\frac1{\pi}\left[\frac1{z}-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2z}{k^2-z^2}\right]$$ (obtenido del cálculo de la serie de Fourier de $\cos(zx)$ para $-\pi \le x \le \pi$ con el resultado :

$$\cos(zx)=\frac{2z\sin(\pi z)}{\pi}\left[\frac1{2z^2}+\frac{\cos(1x)}{1^2-z^2}-\frac{\cos(2x)}{2^2-z^2}+\frac{\cos(3x)}{3^2-z^2}-\cdots\right]$$ aplicado a $x=\pi$ )

y deducimos una interesante expansión de $\frac z2\left(\cot\left(\frac z2\right)\right)$ en los poderes de $z^2$ .

Answer 4

Dejemos que $f(t):=t^3\ \ (-\pi\leq t\leq \pi)$ , extendida a todos los ${\mathbb R}$ periódicamente con el período $2\pi$ . La serie de Fourier de esta función es $$t^3=\sum_{k=1}^\infty {2(-1)^{k-1}(k^2\pi^2-6)\over k^3}\sin(kt)\qquad(-\pi\leq t\leq \pi).$$ Ahora utilizamos la fórmula de Parseval $$\|f\|^2=\sum_{k=0}^\infty |c_k|^2.$$ Pero $$\|f\|^2={1\over\pi}\int_{-\pi}^\pi x^6\>dt={2\pi^6\over7}$$ y
$$c_k^2={4(k^2\pi^2-6)^2\over k^6}=4\left(\frac{36}{k^6}-\frac{12\pi^2}{k^4}+\frac{\pi^4}{k^2}\right),k\geq1.$$ Observando que $$\sum_{k=1}^\infty \frac{12\pi^2}{k^4}=12\pi^2\frac{\pi^4}{90}=\frac{2\pi^6}{15}, \sum_{k=1}^\infty\frac{\pi^4}{k^2}=\pi^4\frac{\pi^2}{6}=\frac{\pi^6}{6}$$ tenemos $$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^6}=\left({\pi^6\over14}+\frac{2\pi^2}{15}-\frac{\pi^4}{6}\right)/36=\frac{\pi^6}{945}.$$

Answer 5

Dejemos que $$g(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(2nx)}{n^2}$$

Entonces

$$g^3(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos(2nx)\cos(2mx)\cos(2kx)}{n^2m^2k^2}$$

Desde $\cos(a)\cos(b)=\frac{1}{2}\left(\cos(a+b)+\cos(a-b)\right)$ entonces

$$g^3(x)=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos(2nx)\cos(2mx+2kx)+\cos(2nx)\cos(2mx-2kx)}{n^2m^2k^2}$$

Debido a la ortogonalidad de la función coseno obtenemos después de la integración :

$$\int_0^\pi g^3(x)\;\mathrm{d}x=\frac{\pi}{4}\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\delta_{n,m+k}+\delta_{n,m-k}}{n^2m^2k^2}= \frac{\pi}{2}\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(m+k)^2m^2k^2}$$