Unicidad de la medida de Lebesgue en $S^n$

Question

Estoy tratando de demostrar que la medida de Lebesgue en $S^n$ es la única medida aditiva contablemente, invariante bajo rotación, de medida total 1 definida en conjuntos mensurables de Lebesgue.

Sé la demostración del enunciado análogo para la medida de Lebesgue con $\mathbb{R}^n$. Sin embargo, en ese caso empezamos con rectángulos, que tienen la propiedad de que una unión disjunta de un número contable de rectángulos cubre todo el espacio y que la intersección de dos rectángulos es de nuevo un rectángulo. No sé cómo definir el análogo de un rectángulo en la esfera, aunque en $S^1$ y $S^2$ puedo imaginar más o menos cómo deberían verse...

Tampoco he encontrado ninguna referencia aparte de una en ruso, así que si alguien conoce algo en inglés, francés, italiano o alemán, ¡por favor responde con un enlace!

Answer 1

Para $S^1$ puedes copiar la prueba para $\mathbb{R}$: para cada $n\ge1$ segmentos de longitud $2\pi/n$ tendrán una medida $1/n$ de la medida completa del círculo. Una vez que tengas eso, puedes usar aproximaciones para mostrar que un segmento de longitud $a$ debe tener una medida $a/(2\pi)$ de la medida completa. Entonces has terminado por la unicidad de la extensión.

Para $S^2$ puedes hacer cosas similares: las hemisferios tienen una medida $1/2$ de la medida completa. Las "bandas" entre meridianos con $a\le \text{longitud} tendrán una medida $|b-a|/(2\pi)$ de la medida completa. Usando rotaciones esto se cumple en todas direcciones. Luego puedes tratar con bandas entre latitudes y mostrar que la medida de un rectángulo entre longitudes $a$ y $b$ tendrá una medida $|b-a|/(2\pi)$ de la medida de la banda. De esta manera puedes construir un anillo en el que la medida se comporta como la medida de Lebesgue y que es lo suficientemente grande como para aplicar la unicidad de la extensión.