Prueba de que la energía total es constante en un campo de fuerza central

Question

Vi muchas pruebas de que la energía total es constante en un campo de fuerza central. Pero todas las pruebas terminan mostrando esta fórmula $$m[{\dot r}^2 + r ^2{\dot \theta}^2 ]+ \int f(r)dr = E$$ es constante. Pero nadie mostró $dE/dt = 0 $, ¿alguien puede demostrar eso o dar alguna referencia? Y supongamos que $f(r)$ es proporcional a $1/r^2$ si es necesario para la prueba. Para cualquier f(r) alguien puede probar que la energía es constante eso está sujeto a crédito adicional.

Answer 1

Comenzamos con la función LAGRANGE

\begin{align*} &L=T-V=\frac{1}{2}\,m\left(\dot{r}^2+r^2\,\dot{\varphi}^2\right)-V(r)\\ &\Rightarrow\\ &\text{Ecuación de movimiento, coordenada $\varphi$}\\ &p_\varphi=\frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi}}=m\,r^2\dot{\varphi}\\ &\dot{p}_\varphi=\frac{d}{dt}\left(m\,r^2\dot{\varphi}\right)\\& \Rightarrow\\& m\,r^2\dot{\varphi} =\text{constante=l}&(1)\\\\ &\text{para la coordenada $r$ obtenemos:}\\ &\frac{d}{dt}\left(m\,\dot{r}\right)-m\,r\,\dot{\varphi}^2+\frac{\partial V}{\partial r}=0\\ &\text{y con } -\frac{\partial V}{\partial r}=f(r)\quad \Rightarrow\\ &m\,\ddot{r}-m\,r\,\dot{\varphi}^2=f(r)&(2)\\ &\text{Sustituyendo la Ecuación (1) en (2) obtenemos}\\ &m\,\ddot{r}-\frac{l^2}{m\,r^3}=f(r)\quad, m\,\ddot{r}+\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{1}{2}\frac{l^2}{m\,r^2}\right)=-\frac{\partial V}{\partial r}&(3)\\\\\\ &\text{La ecuación de energía es:}\\ &E=T+V=\frac{1}{2}\,m\left(\dot{r}^2+r^2\,\dot{\varphi}^2\right)+V(r)\\ &\text{con la ecuación (1)}\\ &E=\left(\frac{1}{2}\,m\,\dot{r}^2+V+\frac{1}{2}\frac{l^2}{m\,r^2}\right)\\ \\&\text{multiplicando la ecuación (3) por $\dot{r}$ y reordenando obtenemos:}\\ &m\,\dot{r}\,\ddot{r}=-\dot{r}\,\frac{\partial}{\partial r}\left(V+\frac{1}{2}\frac{l^2}{m\,r^2}\right) &(4)\\ &\text{con}\quad m\,\dot{r}\,\ddot{r}=\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}\,m\,\dot{r}^2\right)\quad \text{y}\quad \frac{d}{dt} V(r)=\frac{d V}{d r}\dot{r}\\ &\Rightarrow\quad\text{ecuación (4)}\\ &\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}\,m\,\dot{r}^2\right)=- \frac{d}{dt}\left(V+\frac{1}{2}\frac{l^2}{m\,r^2}\right)\\\\ &\boxed{\frac{d}{dt}\underbrace{\left(\frac{1}{2}\,m\,\dot{r}^2+V+\frac{1}{2}\frac{l^2}{m\,r^2}\right)}_{=E}=0} \end{align*}