Global a local para grupos Ext y gavillas

Question

Sea $X$ una variedad proyectiva. El haz $\mathcal{E}xt^{1}(\Omega_{X},\mathcal{O}_{X})$ está soportado en $Sing(X)$.

Ahora, debería haber un teorema (quizás de Schlessinger) que diga que si $X$ tiene singularidades de cociente finito y $codim(Sing(X))\geq 3$ entonces $\mathcal{E}xt^{1}(\Omega_{X},\mathcal{O}_{X}) = 0. Sin embargo, no puedo encontrar una referencia para esto. Una referencia ayudará.

Ahora, supongamos que hay una componente $Y$ de $Sing(X)$ en codimensión dos. Entonces $\mathcal{E}xt^{1}(\Omega_{X},\mathcal{O}_{X})$ debería estar soportado en $Y$. Si, en esta configuración particular, sabemos que $Ext^{1}(\Omega_{X},\mathcal{O}_{X}) = 0$, ¿podemos decir algo sobre $\mathcal{E}xt^{1}(\Omega_{X},\mathcal{O}_{X})$?

Answer 1

¿Qué esperas, $\mathcal{E}xt^1(\mathcal{F},\mathcal{G})=0$? Esto no es cierto. Toma para $X$ una superficie suave, $\mathcal{G}=\mathcal{O}_X$ y $\mathcal{F}=\mathcal{O}_C$ para $C$ una curva suave e irreducible en $X$ con $C^2<0$. Entonces $\mathcal{E}xt^1(\mathcal{F},\mathcal{G})=N_{C/X}$, el fibrado normal de $C$ en $X$, pero $\mathrm{Ext}^1(\mathcal{F},\mathcal{G})=0$.