$a_i a_j + b_i b_j \leq \sqrt{a_i^2 + b_i^2} \sqrt{a_j^2 + b_j^2} $

Question

En el espacio euclidiano ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ con el producto interno estándar, la desigualdad de Cauchy-Schwarz es

$$\left(\sum_{i=1}^n u_i v_i\right)^2\leq \left(\sum_{i=1}^n u_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n v_i^2\right)$$

pero no puedo ver cómo se usa en la siguiente desigualdad:

$\forall (i,j)\in\{1,\ldots,n\}^{2}$: $$a_ia_j+b_ib_j\leq \sqrt{a_i^2+b_i^2} \sqrt{a_j^2+b_j^2} $$

• ¿Qué representan u y v en este caso? ¿Alguien puede explicarme cómo se utiliza la desigualdad de Cauchy-Schwarz?

referencia

Answer 1

Solo $\sum\limits_{i=1}^nu_i^2\sum\limits_{i=1}^nv_i^2-\left(\sum\limits_{i=1}^nu_iv_i\right)^2=\sum\limits_{1\leq i

donde $(u_iv_j-u_jv_i)^2\geq0$ es $\sqrt{(u_i^2+u_j^2)(v_i^2+v_j^2)}\geq |u_iv_i+u_jv_j|$.