Un $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$-álgebra graduada se dice que supercommute si $xy = (-1)^{|x| |y|} yx$; en otras palabras, anticommute elementos impares. ¿Por qué esta es la definición "correcta" de supercommutativity? (Dicho de otro modo, ¿por qué esta es la estructura del producto del tensor natural en espacios del vector super?) Respuestas de ambos un punto de vista físico o categórica sería genial.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
La categórica respuesta es que (en característica cero) esta es la única manera que usted puede hacer un adecuado simétrica del tensor de la categoría, otros que mediante el grupo de las representaciones. Hay un Tannakian teorema de Deligne a este efecto en la configuración algebraica.
Uno de los físicos respuestas es equivalente a la categórica respuesta. "Parastatistics" es el tema de la auto-lineal coherente de las acciones del grupo simétrico en idéntica mecánica cuántica de las partículas. El parastatistics teorema de la física (o teoremas o conjeturas; el nivel de rigor de la real punto no está del todo claro) se parece mucho a Deligne del teorema. Se dice que parastatistical las partículas vienen en dos tipos, parafermions y parabosons, y que todos ellos pueden ser modelados como fermiones y bosones, junto con el estado interno de los espacios que son del grupo de las representaciones.
Bosones y fermiones puede que no sea exactamente el mismo que conmutativa o supercommutative álgebras. Pero son el mismo tema, porque (si aplica segunda cuantización inversa) de los valores de sus campos de viajar, o anticommute.
Para las partículas en 2D, el grupo correcto de acción es el de la trenza del grupo, no el grupo simétrico. Así que en este caso, el parastatistics teorema no se cumple y se puede tener "anyons". De las permitidas las estadísticas se da por única cinta del tensor de la categoría. Sin embargo, dado que la categoría en cuestión ya no es simétrica, no está clara la manera de definir conmutatividad; al menos, nada de lo que es claramente importante.
Tenga en cuenta también que no es justo que el principio de la disposición simétrica del tensor de categorías proviene de la categoría de teoría, y es necesario en la física. Es necesario también en la topología. La más tradicional de las supercommutativity en matemáticas es cohomology.
Para responder a Qiaochu la pregunta de abajo, no hay nada de malo en utilizar el estándar de conmutación de mapa de $v \otimes w \mapsto w \otimes v$ definir conmutatividad. Se muestra todo el tiempo. El punto es que la firma de conmutación mapa de $v \otimes w \mapsto (-1)^{|v||w|}w \otimes v$ es válido otro y no equivalentes monoidal simétrica estructura. (La simetría del tensor de estructura se interpreta como lo que significa para permutar los factores de un producto, por supuesto). No hay nada para impedir la firma de conmutación de mapa a partir de que se suscite entre los invariantes topológicos o en la física, por lo que lo hace surgir. La estructura de los teoremas de decir que todos los "adecuados" opciones para el cambio de mapa son, esencialmente, estos dos, posiblemente disfrazado por una restricción para los tensores, que son invariantes bajo un grupo de acción.
Por buenas y malas razones, yo estaba deliberadamente vaga acerca de lo que significa para el simétrica del tensor de la categoría para ser adecuados, en el sentido de que va a satisfacer una estructura teorema. Quieres algo más de axiomas y propiedades de espera, algunos de ellos relacionados con la existencia de dobles y de huellas. Una versión de la estructura teorema, debido a Deligne, se revisa en este arXiv papel por Etingof y Gelaki. (El teorema citado como [De2] es la más relevante.)
Niall C.
Puntos
1234
