Dado el operador lineal
$A \in L(M_2(\mathbb{C}))$
$A \begin{bmatrix}a & b \\ c & d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a-b & -a+b \\ d & -c \end{bmatrix}$
¿Existe un producto punto donde el operador se convierta en Hermitiano? ($A^*=A$)
No sé cómo probar que existe uno, pero tampoco sé cómo construir un producto punto. Cualquier ayuda es apreciada.
Un operador hermitiano es diagonalizable en una base ortogonal.
Si tu operador no es diagonalizable, entonces no es hermitiano con respecto a ningún producto interno.
Si es diagonalizable, elige cualquier base de eigenvectores y construye un producto interno que haga que sea una base ortogonal.
¡Alégrate!
Pista: Si un operador lineal acotado en un espacio de Hilbert es autoadjunto con respecto a algún producto interno, sus eigenvalores deben ser reales (ver la demostración en ProofWiki). Ahora, la representación matricial del operador lineal $A$ con respecto a la base estándar de $M_2(\mathbb{C})$ es $$ \begin{pmatrix}1&0&-1&0\\ 0&0&0&1\\ -1&0&1&0\\ 0&-1&0&0\end{pmatrix}. $$ ¿Cuáles son los eigenvalores de $A$?
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