Estoy luchando por entender una observación en el libro de Pierre Simon sobre las teorías NIP. Sea $T$ una teoría completa y $\mathfrak{U}\models T$ un modelo monstruo. Supongamos que $p(x),q(y)\in S(\mathfrak{U})$ son tipos globales con variables libres distintas, y que $p$ es $E$-invariante para algún subconjunto pequeño $E\subset\mathfrak{U}$. Entonces, el tipo producto $p(x)\otimes q(y)$ en las variables libres $xy$ está definido tomando $\phi(x,y,c)\in p\otimes q$ si y solo si existe algún $b$ que realiza $q|_{Ec}(y)$ y tal que $\phi(x,b,c)\in p$; esto está bien definido por la invariancia de $E$ de $p$. Simon dice que $p$ y $q$ "conmutan" si $p(x)\otimes q(y)=q(y)\otimes p(x)$.
El Ejercicio 2.22 nos pide mostrar que, si $T=\text{DLO}$ y $p(x)$ y $q(y)$ son $1$-tipos, entonces $p$ y $q$ conmutan siempre que $p$ y $q$ sean no equivalentes. He hecho esto sin problemas, pero estoy un poco perplejo por una observación posterior:
Esto ya no es cierto en $\text{RCF}$: si $p$ y $q$ son dos $1$-tipos invariantes que se concentran en cortes definibles (ya sea $\pm\infty$ o $a^{\pm}$), entonces no conmutan.
Estoy luchando por ver por qué esto es así. Por la eliminación de cuantificadores, un $1$-tipo global $p(x)\in S(\mathfrak{U})$ está determinado de manera única por el corte de $\mathfrak{U}$ que representa, y los datos de si la ecuación $f=0$ está en $p$ para cada polinomio $f\in\mathfrak{U}[x]$. Dado que los polinomios sobre un campo tienen un número finito de raíces, si $p$ contiene una ecuación $f=0$ entonces es un tipo algebraico y por lo tanto tiene todas las realizaciones posibles ya en $\mathfrak{U}$. En particular, si $p(x),q(y)$ son tipos $1$ distintos que no se realizan en $\mathfrak{U}$, entonces (i) deben representar cortes diferentes en $\mathfrak{U}$, y (ii) tendremos que $p(x)\otimes q(y)$ contiene $f(x,y)\neq 0$ para cada $f\in\mathfrak{U}[x,y]$. Además, si no me equivoco, $p(x)\otimes q(y)\supset p(x)\cup q(y)$, por lo que la única forma posible de que $p(x)\otimes q(y)$ y $q(y)\otimes p(x)$ difieran es si uno de ellos contiene $x y el otro contiene $x\geqslant y$. Pero $p(x)$ y $q(y)$ representan cortes diferentes, así que sin pérdida de generalidad existe $c\in\mathfrak{U}$ tal que $x y $c, y entonces necesariamente $x está en ambos $p(x)\otimes q(y)$ y $q(y)\otimes p(x)$, nuevamente ya que cada uno de estos tipos contiene $p(x)\cup q(y)$. Así que no está claro para mí cómo pueden surgir las circunstancias descritas por Simon; ¿alguien tiene alguna idea?
