$\otimes$ - productos de tipos globales en $\text{RCF}$

Question

Estoy luchando por entender una observación en el libro de Pierre Simon sobre las teorías NIP. Sea $T$ una teoría completa y $\mathfrak{U}\models T$ un modelo monstruo. Supongamos que $p(x),q(y)\in S(\mathfrak{U})$ son tipos globales con variables libres distintas, y que $p$ es $E$-invariante para algún subconjunto pequeño $E\subset\mathfrak{U}$. Entonces, el tipo producto $p(x)\otimes q(y)$ en las variables libres $xy$ está definido tomando $\phi(x,y,c)\in p\otimes q$ si y solo si existe algún $b$ que realiza $q|_{Ec}(y)$ y tal que $\phi(x,b,c)\in p$; esto está bien definido por la invariancia de $E$ de $p$. Simon dice que $p$ y $q$ "conmutan" si $p(x)\otimes q(y)=q(y)\otimes p(x)$.

El Ejercicio 2.22 nos pide mostrar que, si $T=\text{DLO}$ y $p(x)$ y $q(y)$ son $1$-tipos, entonces $p$ y $q$ conmutan siempre que $p$ y $q$ sean no equivalentes. He hecho esto sin problemas, pero estoy un poco perplejo por una observación posterior:

Esto ya no es cierto en $\text{RCF}$: si $p$ y $q$ son dos $1$-tipos invariantes que se concentran en cortes definibles (ya sea $\pm\infty$ o $a^{\pm}$), entonces no conmutan.

Estoy luchando por ver por qué esto es así. Por la eliminación de cuantificadores, un $1$-tipo global $p(x)\in S(\mathfrak{U})$ está determinado de manera única por el corte de $\mathfrak{U}$ que representa, y los datos de si la ecuación $f=0$ está en $p$ para cada polinomio $f\in\mathfrak{U}[x]$. Dado que los polinomios sobre un campo tienen un número finito de raíces, si $p$ contiene una ecuación $f=0$ entonces es un tipo algebraico y por lo tanto tiene todas las realizaciones posibles ya en $\mathfrak{U}$. En particular, si $p(x),q(y)$ son tipos $1$ distintos que no se realizan en $\mathfrak{U}$, entonces (i) deben representar cortes diferentes en $\mathfrak{U}$, y (ii) tendremos que $p(x)\otimes q(y)$ contiene $f(x,y)\neq 0$ para cada $f\in\mathfrak{U}[x,y]$. Además, si no me equivoco, $p(x)\otimes q(y)\supset p(x)\cup q(y)$, por lo que la única forma posible de que $p(x)\otimes q(y)$ y $q(y)\otimes p(x)$ difieran es si uno de ellos contiene $x y el otro contiene$x\geqslant y$. Pero$p(x)$y$q(y)$representan cortes diferentes, así que sin pérdida de generalidad existe$c\in\mathfrak{U}$tal que$x y $c, y entonces necesariamente$x está en ambos $p(x)\otimes q(y)$ y $q(y)\otimes p(x)$, nuevamente ya que cada uno de estos tipos contiene $p(x)\cup q(y)$. Así que no está claro para mí cómo pueden surgir las circunstancias descritas por Simon; ¿alguien tiene alguna idea?

Answer 1

Sugerencia: Supongamos que $p(x)$ es el tipo en $\infty$ y $q(y)$ es el tipo en $-\infty$. Ahora considera la fórmula $x\leq -y$. ¿Está en $p(x)\otimes q(y)$? ¿Y en $q(y)\otimes p(x)$?

La idea es que en RCF, todas las secciones definibles no son ortogonales en el sentido de que cualquier realización de una sección definible contiene en su cierre definible (sobre el modelo) realizaciones de todas las otras secciones definibles.