Demostrando que la conexión inducida en el haz dual es en efecto una conexión

Question

Tengo dificultades para demostrar que la propiedad de Leibniz se cumple en la conexión inducida en el haz dual. Permítanme primero esbozar algunas definiciones.

Primero daré la definición de una conexión en un haz vectorial $E \to M$, después mostraré la definición de la conexión inducida en el haz dual $E^{*} \to M$. Luego mostraré mi trabajo y en qué parte me quedé atascado.

Definiciones

Definición 1. Una conexión en el haz vectorial $E \to M$ es una aplicación bilineal $\nabla$ $$\mathfrak{X}(M) \times \Gamma(E) \to \Gamma(E),$$ que satisface $$\nabla_{fX}(s) = f \nabla_X(s), \qquad \nabla_X(fs) = f \nabla_{X}(s) + X(f)s.$$ para todo $f \in C^{\infty}(M), X \in \mathfrak{X}(M), s \in \Gamma(E)$.

Definición 2. Sea $E^{*} \to M$ el haz vectorial dual de $E \to M$. La conexión inducida en el dual $E^*$ es $$\nabla^{*}_X(\xi)(s) = X(\xi(s)) - \xi(\nabla_X(s)),$$ para todo $s \in \Gamma(E), \xi \in \Gamma(E^*)$ y $X \in \mathfrak{X}(M)$.

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Una pequeña nota sobre la notación. Aunque no estoy 100% seguro, supongo que la notación $(\xi)(s)$ simplemente significa que para $x \in M$, $(\xi)(s)(x) := \xi(x)(s(x))$. En este sentido, $(\xi) \in \Gamma(E^*) debe ser lineal cuando se trata de las secciones$s \in \Gamma(E)$. Esto significa que para$f \in C^{\infty}(M)$y$s \in \Gamma(E)$, tenemos (donde$x \in M$)$$(\xi)(fs)(x) = \xi(x)(f(x) s(x)) = f(x) \xi(x)(s(x))$$para todo$x \in M$, lo cual se puede escribir de forma sucinta como$\xi(fs) = f \cdot \xi(s)$.

Probando que la conexión inducida es una conexión

Bilinealidad + Primera Condición (Logré demostrar esto)

1. Consideremos $f_1, f_2 \in C^{\infty}(M)$ y $X_1, X_2 \in \mathfrak{X}(M)$. Escribimos $$\begin{align} \nabla_{f_1 X_1 + f_2 X_2}^*(\xi)(s) &= (f_1 X_1 + f_2 X_2)(\xi(s)) - \xi(\nabla_{f_1 X_1 + f_2 X_2}(s)) \\ &= f_1 X_1(\xi(s)) + f_2 X_2(\xi(s)) - \xi(f_1\nabla_{X_1}(s) + f_2\nabla_{X_2}(s)) \\ &= f_1 X_1(\xi(s)) + f_2 X_2(\xi(s)) - f_1 \xi(\nabla_{X_1}(s)) + f_2\xi(\nabla_{X_2}(s)) \\ &= f_1 \nabla^*_{X_1}(\xi)(s) + f_2 \nabla^*_{X_2}(\xi)(s) \end{align}$$
2. Tomamos $a_1, a_2 \in \mathbb{R}$ y $\xi_1, \xi_2 \in \Gamma(E^*)$ (y $s \in \Gamma(E)$). Entonces escribimos $$\begin{align} \nabla^*_X(a_1 \xi_1 + a_2 \xi_2)(s) &= X((a_1 \xi_1 + a_2 \xi_2)(s)) - (a_1 \xi_1 + a_2 \xi_2)(\nabla_X(s)) \\ &= X(a_1 \xi_1(s) + a_2 \xi_2(s)) - a_1 \xi_1(\nabla_X(s)) - a_2 \xi_2(\nabla_X(s)) \\ &= a_1 (X(\xi_1(s)) - \xi_1(\nabla_X(s))) + a_2 (X(\xi_2(s)) - \xi_2(\nabla_X(s))) \\ &= a_1 \nabla^*_X(\xi_1)(s) + a_2 \nabla^*_X(\xi_2)(s) \end{align}$$

Condición de Leibniz (Aquí es donde me atasco)

A partir de aquí estoy un poco confundido acerca de varias cosas. Específicamente, ahora queremos demostrar que para $X \in \mathfrak{X}(M), \xi \in \Gamma(E^*)$ y $s \in \Gamma(E)$, tenemos $$\nabla^*_X(f \xi)(s) = f \nabla^*_X(\xi)(s) + X(f)\xi(s).$$ Espero que esto sea cierto al menos. A partir de aquí, si escribimos desde el LHS, obtenemos $$\begin{align} \nabla^*_X(f \xi)(s) &= X(f \xi(s)) - (f \xi)(\nabla_X(s)) \\ &= f X(\xi(s)) - (f \xi)(\nabla_X(s)) \end{align}$$ A partir de aquí, no sé cómo continuar. ¿Qué errores estoy cometiendo? ¡Gracias de antemano!

Answer 1

Mientras escribía esta pregunta, me di cuenta de lo siguiente: la igualdad $X(f \xi(s)) = f X(\xi(s))$ no es verdadera. Lo que es cierto, sin embargo, es que $X(f \xi(s)) = f X(\xi(s)) + \xi(s) X(f)$ debido a la regla del producto. Escribir la condición de Leibniz es así: $$\begin{align} \nabla^*_X(f \xi)(s) &= X(f \xi(s)) - (f \xi)(\nabla_X(s)) \\ &= f X(\xi(s)) + \xi(s) X(f) - f \xi(\nabla_X(s)) \\ &= f(X(\xi(s)) - \xi(\nabla_X(s))) + \xi(s) X(f) \\ &= f \nabla^*_X(\xi)(s) + X(f)\xi(s), \end{align}$$ que es exactamente la propiedad que quería probar.