Falsas ecuaciones con la Identidad de Euler

Question

¿Qué está mal con las siguientes ecuaciones?

$$1 = 1^{-i} = (e^{2i})^{-i} = e^{-i2i} = e^{2}$$

Supongo que la tercera ecuación, pero realmente no puedo decir por qué... en la primera ecuación, usamos el hecho de que $1^z$ sigue siendo $1$ para cualquier $Z \in C$; en el segundo paso, insertamos la Identidad de Euler... y en la última ecuación, simplemente usamos $-i2i = 2$. Pero si tengo razón con mi sospecha, ¿por qué la tercera ecuación está incorrecta? ¿No podemos usar las reglas de potencia para números complejos?

Answer 1

El problema es que las potencias complejas son funciones con múltiples valores. Por definición, $a^b = e^{b \log(a)}$, pero existen diferentes ramas de $\log(a)$, cada una de las cuales puede dar un valor diferente a $a^b$. Entonces, en general, no es cierto que $(a^b)^c = a^{bc}$. Lo que se puede decir es que $(a^b)^c = \exp(c \log(a^b)) = \exp(c \log(e^{b \log a}))$, y $\log(e^{b \log a}) = b \log a + 2 \pi n i$ para algún entero $n$, por lo que $$(a^b)^c = \exp(c(b \log a + 2 \pi n i)) = a^{bc} \exp(2 \pi c n i)$$

Los logaritmos posibles de $1$ son $2 \pi n i$ para enteros $n$, entonces $1^{-i} = \exp(-i \log(1)) = \exp(2 \pi n)$ donde $n$ puede ser cualquier entero.