Integral definida de la inversa de una función

Question

Tenemos $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ con $$f\left(x\right)=\frac{\left(-x^3+2x^2-5x+8\right)}{\left(x^2+4\right)}$$

Sabiendo que la función es biyectiva, calcula $$\int _{\frac{4}{5}}^2f^{-1}(x)dx$$

¿Cómo resuelvo esto? Realmente no puedo calcular $f^{-1}(x)$. El libro me dice que use sustitución pero realmente no entiendo lo que significa.

Answer 1

Lema: Si $f(x)$ es una función continua y creciente y $a

Para demostrarlo, solo necesitas dibujar una imagen o mirar la página de Wikipedia.

En nuestro caso, $f(x)$ es decreciente y $f^{-1}(2)=0,\,f^{-1}(4/5)=1$, por lo que el problema se reduce a calcular:

$$ \int_{0}^{1}f(x)\,dx = \int_{0}^{1}\left(2-x-\frac{x}{4+x^2}\right)\,dx = 2-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\left.\left(\log(4+x^2)\right)\right|_{x=0}^{1}.$$

¿Puedes completar los espacios en blanco?

Answer 2

Haz $u=f^{-1}(x) \implies f(u)=x, dx = f'(u)du$. Observa que $f^{-1}(4/5)=1, f^{-1}(2)=0$. $$ \int_{4/5}^{2}f^{-1}(x)dx = \int_{1}^{0}uf'(u)du = -\int_{0}^{1}uf'(u)du $$

¿Puedes resolverlo a partir de aquí?

Answer 3

Si $y_1 = f(x_1)$ y $y_2 = f(x_2)$, entonces $$\int_{y_1}^{y_2}f^{-1}(x)\,{\rm d}x = \int_{y_1}^{y_2}f^{-1}(y)\,{\rm d}y = \int_{x_1}^{x_2}xf'(x)\,{\rm d}x,$$ porque $x = f^{-1}(y) \implies y = f(x) \implies {\rm d}y = f'(x)\,{\rm d}x$. Los límites de integración van así porque $f$ es biyectiva. Ahora solo hay que sustituir todo y resolver la integral resultante.