Esta no es una respuesta completa, pero demasiado largo para un comentario.
Primero dudo mucho de que existe un algoritmo general para tales cálculos con productos cruzados (o más general de álgebras de Lie), porque el problema es altamente no lineal en el carácter y no se invierte debido a $a\times a=0$. Pero para este caso..
A partir de la identidad de Jacobi $x\times (y\times z)+y\times (z\times x)+z\times \ldots=0$ se sigue que $a+b+z\times c=0$, lo $c$ debe ser perpendicular a $a+b$ siempre existe una solución.
A partir de las condiciones se deduce que $x\perp c$, $y\perp c$, $x\perp a$ y $y\perp b$, que le puede dar las direcciones de $x,y$. Si $a,c$ son linealmente independientes y $b,c$ son linealmente independientes, entonces $x$ es un múltiplo de a $c\times a$ $y$ un múltiplo de $c\times b$. La tercera ecuación, entonces los rendimientos
$$
x\times y=\alpha\,(c\veces)\times (c\times b)=\alpha (c\cdot (\times b))\,c
$$
para un valor distinto de cero $\alpha$, lo que implica que $c\cdot (a\times b)\neq 0$ si $c\neq 0$. Así, se demostró que si $a,c$ son independientes, $b,c$ son independientes y $c\neq 0$, $a,b,c$ deben ser linealmente independientes, siempre existe una solución.
Además, $y\times z\perp a$, lo que implica que $\{y,z,a\}$ son linealmente dependientes y del mismo modo, $\{x,z,b\}$ son linealmente dependientes, por lo $z$ es en la intersección de las $\langle y,a\rangle$$\langle x,b\rangle$, siempre que estos se $2$-planos. Por otra parte, $z\perp a+b$.
Aunque no sé cómo demostrarlo, no pude encontrar un contra-ejemplo para la siguiente
Conjetura de si $a,b,c$ son linealmente independientes y $c\perp a+b$, luego la solución ya existe.
(Me imagino que en este caso, la solución podría ser $x\simeq c\times a$, $y\simeq c\times b$ y $z\simeq a-\alpha b$ pero estoy perezoso para terminar todos estos cálculos)
Para el resto de los casos, si $a$ resp. $b$ es un múltiplo de a$c$$c\perp a+b$, entonces el único caso es $a=\alpha c$ $b=-\alpha c$ algunos $\alpha\in\mathbb{R}$. Pero esto es fácil: vamos a $u,v,c$ ser una orientación positiva ortonormales, entonces $x=u+v$, $y=-\alpha u$, $z=c$ es una solución, por ejemplo.
Si $c=0$, $x,y$ son linealmente dependientes, y existe una solución iff $a=-b$.
Actualización de la cuestión Después de la actualización de la pregunta, usted tiene requisitos mucho más estrictos en la solución. De hecho, si usted desea $x,y,z$ a ser todos de la longitud de la $\sqrt{2}$ y con pares de ángulos $\pi/3$, sólo hay $2$ base hasta ortogonal de la orientación de la preservación de la rotación. Todas las ecuaciones aquí se equivariant con respecto a la orientación de la preservación de las rotaciones, por lo que puede asumir, WLOG, que la solución es $x=(\sqrt{2},0,0)$, $y=(\sqrt{2}/2, \sqrt{6}/2,0)$ y $z=\pm (\sqrt{3}/2, 1/2, \alpha)\beta$ donde $\alpha=\sqrt{\sqrt{3}-1}$ $\beta=\sqrt{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$ o algo así. El $\pm$ incluye las dos posibilidades, o bien $x,y,z$ es positivo o negativo. Entonces usted puede calcular el $a,b,c$ a partir de la ecuaciones y verificar si las ecuaciones que proponer $(x=a\times c, etc ...)$ está satisfecho. Soy demasiado perezoso para hacerlo. Si no, entonces no es nunca una solución. Si sí (por $z=+(\ldots)$ resp. $-(\ldots)$ resp. ambos), entonces no es sólo una $a,b,c$ hasta una rotación (resp. la orientación de la preservación de la rotación), de modo que existe una solución.
Así que ya ves, el problema no es probablemente muy significativa con todas estas restricciones. De hecho, si usted ya tiene una respuesta (la restricción en $x,y,z$ son tan fuertes que ya es casi la única), la única cosa que usted necesita hacer es comprobar si esto es realmente una respuesta. Pero podría ser que hay un malentendido o un error en la asignación.
