Tengo un problema muy difícil: Demostrar que, si $2^{2^j} a + 1$ divide a $c^{2^j}+1$ para enteros fijos $a, c$ y todos los enteros no negativos $j$, entonces $a=1$ y $c=2^l$ para algún entero positivo impar $l$, o de lo contrario $a=0$.
Aquí está mi progreso en el problema hasta ahora:
Sea $p$ un primo divisor de $2^{2^j}a+1$. Tenemos $p\mid 2^{2^j}+1\mid c^{2^j}+1$ para todo $j\ge 0$, por lo tanto $c^{2^j}\equiv -1\pmod p$. Al elevar ambos lados al cuadrado, obtenemos $c^{2^{j+1}}\equiv 1\pmod p$. Por lo tanto, es evidente que el orden multiplicativo de $c$ módulo $p$ es $2^{j+1}$. Por el Pequeño Teorema de Fermat, también sabemos que $c^{p-1}\equiv 1\pmod p$, ya que obviamente $\gcd(c,p)=1$. Se sigue que $2^{j+1}\mid p-1$ para todos los divisores primos $p$ de $2^{2^j} a + 1$. Esto significa que $p=2^{j+1}k+1$ para todos los divisores primos $p$ de $2^{2^j} a+1$, lo cual, por el teorema de Euler-Lucas, es precisamente una propiedad de los números de Fermat, es decir, $F_j=2^{2^j}+1.
Esto es hasta donde llegué. Espero poder concluir de alguna manera que $a=1$, es decir, $2^{2^j} a + 1$ es de hecho el número de Fermat $j$-ésimo (como señaló Gilles Bonnet), pero parece difícil.
Agregado más tarde: ¿Qué pasa si $2^n a+1$ divide a $c^n+1$ para todos los enteros no negativos $n$, en lugar de solo potencias de 2? ¿El problema se vuelve significativamente más fácil?
