Función de dominación para fn infinito

Question

Estoy tratando de encontrar una función dominante $g(x)$ para la serie de funciones $\{f_n\}$ $$f_n = \frac{x~e^{-x/n}}{n^2}$$ La integral de la función $f_n$ creo que es una masa puntual de $1$ en $0$ cuando $n \rightarrow \inf$, Pero el problema es cómo encontrar una función dominante que siempre pueda ser mayor que $f_n$ y sea finitamente integrable, para todos los $n$, ya que $f_n$ sigue creciendo en altura y se mueve hacia $0$.

Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Tenga en cuenta que esta es una función que inventé para ayudarme a entender la aplicación del teorema de convergencia dominante de Lebesgue.

Answer 1

De hecho, tus funciones se vuelven más planas para $n \to \infty$. Pero dado que $\int_0^\infty f_n(x)\,dx = 1$ independientemente de $n$, y $f_n \to 0$ uniformemente, no puede haber una función dominante integrable.

Si hubiera una función dominante integrable, las integrales de $f_n$ convergerían a la integral del límite puntual, que es $0$.

Obtendrías un pico avanzando hacia $0$ para $g_n(x) = n^2xe^{-nx}$, pero de nuevo, dado que la integral es independiente de $n$, y $g_n \to 0$ puntualmente, no puede haber una función dominante integrable.