¿Cómo se resuelven el par de ecuaciones $4a-11b+12c=22$ y $a+5b-4c=17$ sobre los enteros?

Question

Resuelve los sistemas si $a$, $b$, y $c$ son enteros positivos:

$$4a-11b+12c=22$$

$$a+5b-4c=17$$

La respuesta se da al final como $(7,6,5)$ ¿pero cómo puedes abordar tres variables con solo dos ecuaciones?

Intenté multiplicar la segunda ecuación por 3 y sumar, obtuve esto

$$7a + 4b=73$$

Answer 1

Dado $7a+4b=73$ puedes tomarlo $\bmod 7$ para obtener $4b \equiv 3 \bmod 7, b \equiv 6 \bmod 7$. Esto da $b=6$ o $13$ porque $20$ es demasiado grande. Sustituyendo, encuentras que $13$ también es demasiado grande.

Si prefieres hacerlo sin la operación módulo, nota que $a \lt 11$ porque de lo contrario $7a \gt 73$, por lo que solo tienes diez opciones y puedes probarlas todas.

Answer 2

Una vez que encuentras una solución en enteros, cualquier otra solución se obtiene al agregar un múltiplo entero del producto cruzado de los coeficientes, es decir $$ \langle -16, 28, 31 \rangle $$ Ya conoces la solución $ \langle 7,6,5 \rangle \; . $ Cualquier otra solución entera es $$ \langle 7-16t, 6+28t, 5+31t \rangle \; . $$ Si $t > 0$ obtenemos que $7 - 16 t < 0.$ Si $t < 0$ entonces $6 + 28 t < 0.$ Se sigue que $t=0,$ la única solución en enteros positivos es la dada. Hay infinitas soluciones enteras, que se encuentran en la línea que describí, pero esa línea pasa brevemente por el primer (positivo) octante.

Answer 3

Podemos reescribir las ecuaciones como \begin{align*} -11b+12c&=22-4a\\ 5b-4c&=17-a \end{align*} lo cual nos da \begin{align*} b&=\frac{73-7a}4\\ c&=\frac{297-31a}{16} \end{align*}

Queremos encontrar $a$ de manera que las expresiones anteriores sean enteros positivos. De $297-31a>0$ obtenemos $a<\frac{297}{31}$. Para $a$ enteros esto significa que $a\le9$. (Por lo tanto, en realidad no tenemos tantas posibilidades para probar, solo $a=1,2,\dots,9$.)

Si queremos que $7a\equiv 73 \pmod 4$, esto es equivalente a $a\equiv1\pmod4$.
Además, queremos que $31a\equiv297\pmod{16}$, lo cual nos da $a\equiv7\pmod{16}$.
Entonces, $b$ y $c$ son enteros solo si $a=16k+7$.