Comenzaremos simplificando la matriz usando operaciones elementales de filas. $$\begin{eqnarray*}A = \begin{bmatrix} 1& 4& 5& 6& 9\\ 3& −2& 1& 4& −1\\ −1& 0& −1& −2& −1\\ 2& 3& 5& 7& 8\end{bmatrix}&\xrightarrow{R_4+2R_3}&\begin{bmatrix} 1& 4& 5& 6& 9\\ 3& −2& 1& 4& −1\\ −1& 0& −1& −2& −1\\ 0& 3& 3& 3& 6\end{bmatrix}\\ &\xrightarrow{R_3+\frac{1}{3}R_2}&\begin{bmatrix} 1& 4& 5& 6& 9\\ 3& −2& 1& 4& −1\\ 0& -\frac{2}{3}& -\frac{2}{3}& -\frac{2}{3}& -\frac{4}{3}\\ 0& 3& 3& 3& 6\end{bmatrix}\\ &\xrightarrow{R_2-3R_1}&\begin{bmatrix} 1& 4& 5& 6& 9\\ 0& −14& -14& -14& −28\\ 0& -\frac{2}{3}& -\frac{2}{3}& -\frac{2}{3}& -\frac{4}{3}\\ 0& 3& 3& 3& 6\end{bmatrix}\\ &\xrightarrow{\substack{-(1/14)R_2\\-(3/2)R_3\\(1/3)R_4}}&\begin{bmatrix} 1& 4& 5& 6& 9\\ 0& 1& 1& 1& 2\\ 0& 1& 1& 1& 2\\ 0& 1& 1& 1& 2\end{bmatrix}\\ &\xrightarrow{\substack{R_4-R_3\\R_3-R_2 \\R_1-3R_2}}&\begin{bmatrix} 1& 0& 1& 2& 1\\ 0& 1& 1& 1& 2\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{bmatrix} \end{eqnarray*}$$ Vemos que el espacio de filas de $A$ está generado por $(1,0,1,2,1)$ y $(0,1,1,1,2)$, lo que significa que el rango de $A$ es $2$. A partir de esto, sabemos por el teorema de la nulidad de rango que la nulidad será $3$, ya que hay $5$ columnas en la matriz, pero verifiquemos de todos modos encontrando una base del espacio nulo. Tenemos el siguiente sistema reducido de ecuaciones. $$\begin{eqnarray*} x+z+2s+t&=&0\\ y+z+s+2t&=&0\\ &\downarrow&\\ x&=&-z-2s-t\\ y&=&-z-s-2t\end{eqnarray*}$$ que podemos reescribir en forma vectorial como $$\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ s \\ t \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -z-2s-t \\ -z-s-2t \\ z \\ s \\ t \\ \end{bmatrix}= z\begin{bmatrix}-1\\-1\\1 \\0 \\0 \\\end{bmatrix}+ s\begin{bmatrix}-2\\-1\\0 \\1 \\0 \\\end{bmatrix}+ t\begin{bmatrix}-1\\-2\\0 \\0 \\1 \\\end{bmatrix}$$ Entonces, una base del espacio nulo es $(-1,-1,1,0,0)$, $(-2,-1,0,1,0)$ y $(-1,-2,0,0,1)$.
