Demostrar que $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$

Question

1. Sea $f: \mathbb R \to \mathbb R$ una función tal que existen constantes $b,\ m>0,\ c \in \mathbb R$ tales que $$f(x) > mx+c,\ \forall x>b$$ Demuestre que $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$

2. Si $f$ es una función diferenciable en $(0, \infty)$ y $f,\ f'$ son estrictamente crecientes en $(0, \infty)$, demuestre que $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$. Utilice el teorema del valor medio y el resultado anterior.

He realizado la primera parte de la siguiente manera-

Sea $a>0$

Defina $p:=\max \{b, \dfrac{|a-c|}{m}\}$

$$\begin{align*} x>p &\implies x>b\ \text{y}\ x>\frac{|a-c|}{m} \\ x>b &\implies f(x)> mx+c \\ x> \dfrac{|a-c|}{m} &\implies mx+c > a > c-mx \\ \therefore x>p &\implies f(x) > mx+ c > a (>0) \\ \forall a>0, \exists p \in \mathbb Z_+ tal que x>p\ &\implies |f(x)|>a\\ \therefore \lim_{x \to \infty} f(x) &= \infty\\ \end{align*}$$

Estoy atascado en la segunda parte, ¿alguien puede ayudarme?

Answer 1

Dado que $f$ es estrictamente creciente, $f'$ es positiva en $(0,\infty)$. Sea $m=f'(1)>0.

También, dado que $f'$ es estrictamente creciente, $f'>m$ en $(1,\infty)$.

Si $x$ es un punto arbitrario en $(1,\infty)$, por el Teorema del Valor Medio (podemos usar esto debido a la condición de que $f$ es diferenciable, lo cual implica que $f$ es continua), existe un $c\in(1,x)$ tal que $${f(x)-f(1)\over x-1}=f'(c)>m.$$ Así que $f(x)>mx+(f(1)-m)=mx+c$, donde $c$ es una constante.

Por lo tanto, por el resultado de 1, $\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=\infty$.

Answer 2

Una posible solución podría ser la siguiente: Fija $a, b$ con $00$ porque ya sabemos que $f(b)>f(a).

Ahora construimos la recta tangente al punto $(c,f(c))$ para poder usar la primera parte del problema. Como ya sabes, la recta tangente está dada por $y-f(c)=f'(c)(x-c)$ lo que significa que $y=xf'(c)+f(c)-cf'(c)=mx+\beta$ si llamamos $m=f'(c)$ y $\beta=f(c)-cf'(c)$.

La primera parte dice que debería ser suficiente probar que $f(x)>mx+\beta$ para $x>b$. Veamos si podemos hacer eso: toma $k>b$, la desigualdad que debemos probar es $f(k)>kf'(c)+f(c)-cf'(c)$, o lo que es lo mismo, demostrar $f(k)-f(c)>f'(c)(k-c)$ y la última desigualdad se puede escribir como $\displaystyle\frac{f(k)-f(c)}{k-c}>f'(c)$ donde el lado izquierdo parece una forma obvia del teorema del valor medio.

Ahora, aplicando nuevamente el teorema del valor medio al lado izquierdo, existe $u$ con $cf'(c)$ y así $f$ siempre está por encima de la recta tangente a $(c,f'(c))$ cuando $x>b$.

El límite sigue lo que ya has probado.