Subrepresentaciones-$G$

Question

"Entonces sea $G$ un grupo finito, $H$ un subgrupo normal propio y no trivial de $G$. Para cualquier representación $\rho: G \to \text{GL}(V)$, definimos los $H$-invariantes de $V$ como $$V^H := \{v \in V \text{ }|\text{ } \rho(h)(v) = v \text{ para todo }h \in H\}.$$Mostrar que $V^H$ es una sub-representación de $G$ de $V$."

Aquí hay un comienzo de una prueba, no estoy seguro si está correcto o incorrecto, agradecería ayuda.

Así que mostramos que si $V^H$ es un subespacio invariante de $V$, entonces $gV^H = V^H$ para todo $g \in G$. Debido a que los elementos del grupo son invertibles, sus operaciones en $V$ son invertibles, por lo tanto $gV^H$ y $V^H$ tienen la misma dimensión. Si $gV^H \subset V^H$, entonces $gV^H = V^H. ¿Es eso todo?

También tengo curiosidad por saber si tal sub-representación tiene que ser trivial o no.

Answer 1

Si $gV^H\subseteq V^H$ entonces $gV^H=V^H$. ¿Eso es todo?

Hay tres problemas con este argumento. Primero, tu implicación no es válida: $A\subseteq B$ y el hecho de que los subespacios $A$ y $B$ tengan la misma dimensión no implica que $A=B$ si son espacios de dimensión infinita. En segundo lugar, nunca mostraste que tu hipótesis $gV^H\subseteq V^H$ (para todo $g\in G$) sea verdadera. Y luego en tercer lugar, nunca usaste la hipótesis de que $H$ es un subgrupo normal, lo cual es necesario.

Basta con mostrar que $gV^H\subseteq V^H$ para todos los $g$, ya que si tanto $g$ como $g^{-1}$ mapean $V^H$ en sí mismo, deben ser mutuamente inversos, por lo tanto $g$ (y $g^{-1}$) son mapas inversos en $V^H$, de modo que $gV^H=V^H. ¿Cómo vas a mostrar la inclusión $gV^H\subseteq V^H? Desempaqueta su significado. Si $v\in V$ es invariante bajo $H$, entonces debes mostrar (para un $g\in G$ arbitrario) que $gv$ también es invariante bajo $H. Aquí es donde entra en juego la normalidad de $H. ¿Puedes ver cómo?

En cuanto a si $V^H$ debe ser trivial, por supuesto que no. Debería ser bastante factible elegir cualquier grupo $G$ con un subgrupo normal $H$ y luego construir una representación $V$ de $G$ para la cual $V^H$ sea no trivial. De hecho, ¿has oído hablar de la representación regular? Sin mencionar que podríamos arreglar para que $V^H$ sea una suma directa de trivias, de modo que técnicamente sea no trivial. (Para hacer esto fácilmente, haz que $V$ sea en sí misma una suma de trivias.)

Answer 2

Sea $v\in V^{H}$. Como $H \triangleleft G$, tenemos que $g^{-1} h g \in H$ para cualquier $g\in G$ y $h\in H$. En consecuencia, $$\rho(g^{-1} h g)(v) = v \implies \rho(h) \cdot \rho(g) (v) = \rho(g)(v).$$ Por lo tanto, $H$ fija a $\rho(g)(v)$, por lo tanto $\rho(g)(v) \in V^H$. Se sigue que $V^H$ es $G$-invariante.

La sub-representación $V^{H}$ no necesita ser trivial. Sea $G$ un grupo y $H\triangleleft G$. Consideremos la representación regular $V = \langle \{e_g \, \vert \, g\in G\} \rangle$. Si $h_1$, $h_2$, $\dots$, $h_k$ son los elementos de $H$, notemos que para cualquier $h\in H$, $$\rho(h)(e_{h_1} + \dots + e_{h_k} ) = e_{h\cdot h_1} + \dots + e_{h\cdot h_k} = e_{h_1} + \dots + e_{h_k}.$$ Por lo tanto, $e_{h_1} + \dots + e_{h_k} \in V^{H}$, lo que implica que $V^{H}$ no es el subespacio nulo de $V$ (ya que $e_{h_1} + \dots + e_{h_k}$ es distinto de cero$).

Para demostrar que $V^{H}$ no es trivial, necesitaremos mostrar que $G$ no fija a $V^{H}$. Para cualquier $g\in G$ con $g\not\in H$, notamos que $$\rho(g)(e_{h_1} + \dots + e_{h_k}) = e_{g\cdot h_1} + \dots + e_{g \cdot h_k},$$ lo cual no puede ser igual a $e_{h_1} + \dots + e_{h_k}$. Porque si $$e_{g\cdot h_1} + \dots + e_{g \cdot h_k} = e_{h_1} + \dots + e_{h_k},$$ la independencia lineal de la base $\{e_g\}$ nos diría que cada $e_{g\cdot h_i} = e_{h_j}$ para algún $j$. Pero entonces $g\cdot h_i = h_j$, lo cual significa que $g\in H$, en contradicción con la elección de $g$.