Probablemente no sea de mucho interés para los estudiantes cuando algún matemático insípido se apresura a señalar la verdadera fuente de algunos de los problemas asignados. Así que vota negativamente si esto te hace dormir.
La idea del problema no es simplemente un ejercicio en la regla de L'Hopital o el teorema de Taylor o un intento malicioso de un problema complicado. Hay un interés real en encontrar expresiones similares: ¿puedo encontrar una caracterización de la derivada $n$-ésima de una función que no requiera el cálculo de todas las derivadas intermedias?
Consideremos una posible derivada $n$-ésima ("P" para propuesta?) $$ PD_n f(x) = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{ \sum_{i=1}^n a_i f(x+ b_i h) )}{h^n} . $$
La primera y más elemental de las dificultades que enfrentamos es determinar condiciones sobre los $a_i$ y los $b_i$ para que cuando la derivada $n$-ésima exista, coincida con $PD_n f(x)$.
La solución a esta parte del problema es que una condición necesaria es que los números deben satisfacer las $n+1$ ecuaciones $$\sum_{i=1}^n a_ib_i^ r = 0 \ \ r=0,1,2,3,..., n-1$$ y $$\sum_{i=1}^n a_ib_i^ n = n! $$ Esto se obtiene esencialmente por los mismos métodos ya dados en la otra respuesta.
Para el problema planteado aquí $n=2$, $b_1=-1$, $b_2=0$, $b_3=2$ entonces las tres ecuaciones son lo que ya hemos visto en la respuesta proporcionada: $$ \begin{array}{2} a_1+a_2+a_3= 0 \\ -a_1 +0 + 2a_3 =0 \\ a_1+0 + 2^2a_3 = 2! \end{array} $$
Hay muchas otras opciones más famosas que esta. Por ejemplo, las derivadas simétricas de Riemann han sido muy estudiadas. La de tercer orden se ve así: $$SRD_3 F(x) = \lim_{h\to 0}\frac{ F(x+3h)-3F(x+h)+3F(x-h)-F(x-3h)}{8h^3}.
Puedo terminar esto animándote a sumergirte en la literatura. J. Marshall Ash ha estado interesado durante mucho tiempo en problemas de esta naturaleza (originados en sus estudios bajo Zygmund en Chicago). Este artículo te ayudará a comenzar:
J. Marshall Ash, Generalizaciones de la derivada de Riemann. Trans. Amer. Math. Soc. 126 1967 181–199.
