Me pregunto qué número o números complejos es preferible tener en el centro de la vista de un conjunto de Mandelbrot a medida que el rango de visualización se hace cada vez más pequeño para que la complejidad del conjunto sea visible. En cualquier punto del conjunto, la vista eventualmente se convertirá en una región sólida de puntos que están todos dentro del conjunto (iteraciones infinitas), mientras que para muchos puntos que no están en el conjunto, una cosa similar ocurrirá para una región de puntos que no están en el conjunto. Me pregunto si hay una forma de determinar qué centro de la vista del conjunto de Mandelbrot dará una vista significativa para rangos de visualización arbitrarios.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Claude
Puntos
188
Quieres un punto en el límite del conjunto de Mandelbrot. Sin embargo, las formas "simples" de elegir puntos en el límite no son tan interesantes, porque eventualmente se repiten.
Los puntos en ángulos internos racionales (medidos en vueltas) de componentes hiperbólicas están en las cúspides, por lo que al hacer zoom se obtendrán una o dos líneas rectas desde el centro, y solo si se utiliza coloración interior.
Los puntos en algunos ángulos internos irracionales (medidos en vueltas) de componentes hiperbólicas exhiben (aproximadamente) auto-similitud, con los períodos de los componentes en forma de disco aumentando de acuerdo con la secuencia de Fibonacci:
También hay auto-similitud aproximada en puntos Feigenbaum en la punta de cascadas de duplicación de período:
El conjunto de Mandelbrot es asintóticamente auto-similar alrededor de puntos Misiurewicz (puntos pre-periódicos en el límite de los filamentos del conjunto de Mandelbrot, típicamente centros espirales y puntas de filamentos):
Renormalización iterativa: un "minibrot" en los filamentos de un minibrot padre, haciendo zoom repetidamente en la misma ubicación relativa al siguiente minibrot hijo, eliminando las decoraciones adicionales mediante la elección del algoritmo de coloración. Esta es una generalización de los puntos Feigenbaum.
Finalmente, los caminos de zoom "interesantes" requieren elecciones estéticas de dónde hacer zoom.
zaq
Puntos
221
Puntos Misiurewicz, que se encuentran en el límite del conjunto de Mandelbrot, proporcionan una ubicación interesante para hacer zoom. Hay algunas ilustraciones cerca del final del artículo de Wikipedia. Por definición, los puntos Misiurewicz $M_{k,n}$ son las raíces de la ecuación $f_c^{(k)}(0) = f_c^{(k+n)}(0)$ donde $f(z) = z^2+c$ y los superíndices representan la iteración. Dos ejemplos simples son $-2$ (que es $M_{2,1}$) y $i$ (que es $M_{2,2}$), pero los puntos más interesantes (con valores más grandes de $k$ o $n$) llevan a ecuaciones algebraicas para $c$ que no pueden resolverse exactamente.
guest4711
Puntos
11
Hay algunos puntos interesantes para buscar en un zoom de Mandelbrot. Uno de ellos es -e/7-e/20i, que son básicamente las coordenadas del famoso valle Seahorse que se encuentra en el 'cuello' del insecto. Wolfram Maths muestra -0.75 + 0.1i, pero el problema es que después de un tiempo llegas a un punto en blanco, mientras que dado que e es un número con complejidad infinita, siempre puedes hacer zoom para ver más cosas interesantes. Quiero decir, esta no es una explicación sofisticada porque se me ocurrió después de descubrir que esos números llegan al valle Seahorse a un valor de zoom bastante alto.
Edit: No sé si estos son puntos Misiurewicz, ni sé cómo comprobarlo
