Integrak de Itô con potencias de movimiento browniano

Question

Estoy buscando calcular la siguiente integral para $n \geq 1$ donde $W_t$ es un movimiento browniano estándar: $$\int_0^T W_t^n dW_t$$ Aplicando el lema de Itô con $f(x)=x^{n+1}$ reduce el término de potencia a $n-1$ en el término integral. ¿Existe una manera más directa de hacer esto en lugar de aplicar Itô $n$ veces?

Answer 1

La integración por partes se ve así $$\int_a^b f(t)g'(W_t)dW_t = f(t)g(W_t)|_a^b - \int_a^b f'(t)g(W_t)dt - \frac{1}{2}\int_a^b f(t)g''(W_t)dt,$$

donde $f(t)$ es una función determinística y $g(W_t)$ es una función de un proceso de Wiener. Para la integral que queremos podemos dejar $f(t) = 1$ y obtenemos

$$\int_a^b g'(W_t)dW_t = g(W_t)|_a^b - \frac{1}{2}\int_a^b g''(W_t)dt.$$

Así que para la integral $\int_a^b W_tdW_t$ podemos dejar $g(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ y esto nos da

$$\int_a^b W^n_tdW_t = \frac{W_t^{n+1}}{n+1}|_a^b - \frac{n}{2}\int_a^bW^{n-1}_t dt.$$

Answer 2

$\int_0^T B_tdB_t = \frac{1}{2} B_T^2 - \frac{1}{2}T$ por cálculo directo y también $\int_0^T B_t^2dB_t = \frac{1}{3} B_T^3 - \int_0^T B_td_t$