La esfera no es un espacio afín

Question

En el libro "Special Relativity in General Frames" de Eric Gourgoulhon, se afirma que la esfera bidimensional no es un espacio afín. Donde un espacio afín de dimensión n en $\mathbb R$ se define como un conjunto no vacío E tal que existe un espacio vectorial V de dimensión n en $\mathbb R$ y una función de mapeo

$\phi:E \times E \rightarrow V,\space\space\space (A,B) \mapsto \phi(A,B)=:\vec {AB}$

que cumple las siguientes propiedades:

(i) Para cualquier punto O $\in E$, la función

$\phi_O: E \rightarrow V,\space\space\space M \mapsto \vec {OM}$

es biyectiva.

(ii) Para cualquier terna (A,B,C) de elementos de E, se cumple la siguiente relación:

$\vec {AB} + \vec {BC} = \vec {AC}.$

Me gustaría demostrar que la esfera no es un espacio afín utilizando esta definición. Mi enfoque ha sido asumir que existe un $\phi$ y luego buscar una contradicción. Puedo construir $\phi_O$ específicos que son biyectivos y puedo mostrar que surge una contradicción si uso la misma construcción centrada en un nuevo punto A, con $\phi_A$, pero esto solo invalida la construcción específica que hice. Estoy teniendo dificultades para generalizar esto a cualquier $\phi$.

Answer 1

Su definición es diferente de la definición aquí. (Aunque probablemente sean equivalentes.)

Usando esa definición, es evidente que $E$ es "plano". Es decir, dado $A,B\in E$, la recta que los une, $A+t\cdot (B-A)$, está contenida en $E$.

Para ver esto, hay que tener en cuenta que $A=x+u$ y $B=x+v$, para $x\in E,u,v\in\vec{E}$. Entonces, un punto típico en la recta que los conecta es $x+u+t\cdot (v-u)\in E$.

Por supuesto, $S^2$ no tiene esta propiedad. (Uno tendría que notar que $S^2$ tendría que ser un subespacio afín de $\mathbb R^3$, y concluir que tendría que ser un $2$-plano).

Answer 2

La cuestión es que tal vez quieras introducir algo de topología en la imagen. De hecho, si no lo haces, puedes elegir cualquier biyección entre la esfera y un espacio vectorial $\mathbb R$, y terminar con una estructura de espacio vectorial en tu "esfera" (transportando la estructura). Mi punto es que existen tales $\varphi$, pero lo que realmente quieres no es que $\varphi_O$ sea solo biyectiva: si tu espacio ya tiene una forma, quieres que sea un homeomorfismo.

Y no hay homeomorfismo entre la esfera y un espacio vectorial $\mathbb R$ (por ejemplo, porque un espacio vectorial es contractible - puedes reducirlo continuamente a un punto - mientras que la esfera no lo es; puedes buscar eso en cualquier curso básico de topología algebraica)

Answer 3

Podríamos empezar desde un problema más fácil---demostrar que la esfera de $1$ dimensión, es decir, el círculo $S^1$, no es un espacio afín.

Este parece bastante fácil---podemos elegir un punto $A$ en $S^1$, un vector no nulo $v$ y una secuencia de $n+1$ puntos de $S^1$, digamos, $(A_i)_{0\leq i \leq n}$ tal que $$A_0 = A, \quad \overrightarrow{A_i A_{i+1}} = v \text{ para }0 \leq i \leq n, \quad A_n = A.$$ Luego (ii) implica $$\sum_{i=0}^{n-1} \overrightarrow{A_i A_{i+1}} = \overrightarrow{AA} = 0.$$ De (ii) se sigue que$$\overrightarrow{AA} = 0$$ también, ya que$$\text{(ii)} \implies \overrightarrow{AA}+\overrightarrow{AA} = \overrightarrow{AA} \implies \overrightarrow{AA}=0.$$ Y para concluir, tenemos entonces $$n v = 0$$ lo cual contradice que $v$ sea distinto de cero.

Actualización: Creo que el problema es simple en principio. Un espacio afín es simplemente un espacio donde podemos restar $2$ vectores---efectivamente un espacio lineal debilitado sin un origen. Por lo tanto algunas coordenadas---no únicas pero coordenadas---deben tender a infinito. Espacios compactos como las esferas no pueden ser espacios afines.

En mi demostración para la esfera de $1$ dimensión, es decir, el círculo, coloqué los puntos regularmente, y luego vi que la coordenada debería haber regresado a la original pero no lo hizo.

Podemos simplemente hacer lo mismo para la esfera de $2$ dimensiones y otras más, ¿no? Hay $1$-esferas dentro de $2$-esferas etc. Si la diferencia estuviera definida y fuera suave, entonces podríamos buscar los $N$ puntos a lo largo de las $2$-esferas de tal manera que la diferencia entre el $N$-ésimo punto y el $(N-1)$-ésimo punto sería la misma para todos ellos, al igual que en la $1$-esfera. Esto debe ser posible si elegimos una diferencia suficientemente pequeña---muchos puntos en el círculo alrededor de la esfera.

Organizaría la cosa demostrando una afirmación más fuerte, al menos para todas las $D$-esferas pero tal vez para todas las variedades compactas. Estoy seguro de que al menos para los espacios afines complejos, la afirmación sobre la no compacidad de los espacios afines es verdadera.

En la esfera de $2$ dimensiones, si elegimos $2$ puntos cercanos $A_1$ y $A_2$, tienen alguna diferencia que es "pequeña". Por lo tanto debe existir un punto cerca de $A_2$ tal que$$A_3 - A_2 = A_2 - A_1.$$Debe estar en algún lugar de un círculo topológico rodeado de direcciones, y una de ellas debe tener la misma dirección también. Tomando un límite de corta distancia, podríamos reconstruir un círculo completo dentro de la esfera en el cual todas las diferencias tienen la misma dirección, y luego adaptamos la longitud para regresar después de $N$ pasos, y luego se reduce a mi demostración del círculo de arriba.

Pero puede haber demostraciones más elegantes y mucho más fuertes para todas las variedades compactas. Simplemente no hay regiones dentro de espacios compactos donde las coordenadas podrían tender a infinito, por lo que no puede ser un espacio afín, creo.