¿Existe un contraparte del teorema de Mazur-Ulam para transformaciones simplécticas en lugar de isometrías?

Question

Sea $V$ un espacio vectorial real de dimensión finita, y $g$ una forma bilineal simétrica no degenerada positiva definida (es decir, un producto escalar) en él. Tomemos una aplicación $f: V\to V$. Según el teorema de Mazur-Ulam, si $f(0)=0$ y $g(fu, fv)=g(u, v)$ para todo $u, v\in V$, entonces $f$ es lineal.

Ahora tomemos en lugar de $g$ una forma bilineal $\omega$ no degenerada skew-simétrica (es decir, una forma simplectica). ¿Es cierto que si $f(0)=0$ y $\omega(fu, fv)=\omega(u, v)$ para todo $u, v\in V$, entonces $f$ es lineal?

Answer 1

Sea $B : V \times V \to V$ cualquier forma bilineal no degenerada en un espacio vectorial real $V$. Afirmamos que si $f : V \to V$ preserva $B$ (en el sentido de que $B(fu, fv) = B(u,v)$ para todo $u,v \in V$) y satisface $f(0) = 0$, entonces $f$ es lineal (de hecho, un isomorfismo lineal).

Primero establezcamos una forma débil de linealidad. Sean $u,v,w \in V$ y $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$, entonces calculamos

$$\begin{align}B(fu, \lambda fv + \mu fw) &= \lambda B(fu,fv) + \mu B(fu, fw) \\ &= \lambda B(u,v) + \mu B(u, w) = B(u, \lambda v + \mu w) \\ &= B(fu, f(\lambda v + \mu w)) .\end{align}$$

Si supiéramos que $f$ es sobreyectiva, la linealidad de $f$ seguiría de la no degeneración de $B$, ya que $fu$ podría ser cualquier elemento en $V$. Sin embargo, aquí realmente no necesitamos que $fu$ se elija arbitrariamente en $V, sino solo en una base de$V$. De hecho, si$span\{v_1, \dots, v_n\} = V$, entonces la no degeneración de$B$implica que$B(u,v_i) = 0$para todo$1 \le i \le n$si y solo si$u = 0$.

Así que necesitamos finalmente demostrar que $\mathrm{Im} f$ contiene una base para $V$. Esto se sigue de la existencia de bases "estándar" en $V$ con respecto a $B$ (Si $B$ fuera un producto escalar, "estándar" podría significar "ortonormal" ; Si $B$ fuera una forma simpléctica, "estándar" podría significar "simpléctica".) De hecho, dado que $f$ preserva $B$, transforma una base "estándar" en otra.

Observa que el teorema de Mazur-Ulam tiene una forma más fuerte que la que mencionaste : Si $(V, \| \cdot \|)$ es un espacio vectorial real normado y si $f : V \to V$ es un mapa que conserva la norma y satisface $f(0)=0$, entonces es un mapa lineal. En este contexto más general, no se tiene la estructura bilineal de un producto escalar de la cual se podría inferir la linealidad de $f$.