Sean $L$ y $T$ dos transformaciones lineales de un espacio vectorial real $V$ a $\mathbb R$ tales que $L(v) = 0$ implica $T(v) = 0.$ Demuestra que $T = cL$ para algún número real $c.$
He dedicado horas en llegar a esta idea. Así que quiero que verifiques la lógica:
Supongamos sin pérdida de generalidad que $L\ne0.$ En consecuencia, $L(V)$ es de dimensión $1.$
$\exists~\alpha\in V$ tal que $L(\alpha)\ne0.$ Entonces $L(V)=\langle L(\alpha)\rangle.$ Sea $c=\dfrac{T(\alpha)}{L(\alpha)}.$
Elija $v\in V.$ Entonces $L(v)=dL(\alpha)$ para algún $d\in\mathbb R\\\implies L(v-d\alpha)=0\\\implies T(v-d\alpha)=0\\\implies T(v)=dT(\alpha)\\\implies T(v)=cdL(\alpha)\\\implies T(v)=cL(v)\\\implies T=cL$
