Splines con condiciones diferenciales?

Question

Tengo un conjunto de puntos $(x_i, y_i) \in {\mathbb R}_+ \times {\mathbb R}$, $i=1,...,n$, ($x_i$ son las variables independientes e $y_i$ son las variables dependientes o respuestas) que quiero ajustar usando splines (estoy abierto a cualquier elección en este momento). Por lo tanto, quiero crear la función interpoladora $S(x):{\mathbb R}_+ \rightarrow {\mathbb R}$. Sin embargo, necesito restringir $S(x)$ para que satisfaga $\frac{d S(x)}{dx} \geq f(x)$, donde $f$ es una función conocida. ¿Es esto posible? En caso afirmativo, ¿hay alguna herramienta en R para hacerlo?

Answer 1

Definitivamente es posible, porque variando el número $a$ podrías ajustar $x\to f(x)+a$ a los datos usando (por ejemplo) mínimos cuadrados. De hecho, esta idea sugiere reemplazar tus datos por $(x_i, y_i-F(x_i))$ donde $F^\prime=f$ y exigir que la spline sea monótonamente creciente: esto suena a regresión monótona, cf.

Específicamente, encuentra una spline monótona (creciente) para los datos $(x_i, y_i-F(x_i))$ donde $$F(x)=\int_0^x f(t)\mathrm{d}t.$$ Supongamos que $T$ es una spline diferenciable y monótona para $(x_i,y_i-F(x_i))$. Esto significa que $T^\prime$ es siempre no negativo y que para todo $i$, $T(x_i)=y_i-F(x_i)$. Entonces $S(x) = T(x)+F(x)$ obviamente tiene las dos propiedades que requieres de ella: $$S(x_i)=T(x_i)+F(x_i) = (y_i-F(x_i)) + F(x_i)=y_i$$ para todo $i$ y $$S^\prime(x) = T^\prime(x)+F^\prime(x) = T^\prime(x)+f(x) \ge f(x).$$