Repartir libros entre 3 personas de modo que dos tengan el doble de libros que la otra

Question

Hay 21 libros y 3 personas (a, b y c). ¿Cuántas formas pueden distribuirse los libros de manera que dos personas juntas tengan el doble de libros que la tercera?

Mi método es $\binom{3}{2}\binom{21}{14}$ que simplemente consiste en elegir a dos personas para tener el doble de libros y el "doble de libros" se cumple eligiendo 14 de los 21 en total.

Tengo bastante confianza en la respuesta, pero parece demasiado simple y me dieron bastante espacio para resolver esta pregunta, así que parece que podría estar pasando algo por alto. Si ese es el caso, por favor brinde pistas y desenfoque la respuesta

Answer 1

Si los libros son distinguibles y una persona recibe exactamente siete libros, entonces aún necesitas contar la cantidad de formas de distribuir los 14 libros entre las dos personas. Tenías el inicio correcto:

$$\dbinom{3}{2}\dbinom{21}{14}$$

Esto elige a dos de las tres personas para recibir 14 libros (la última persona recibe siete por defecto). Luego elige 14 de los 21 libros distinguibles (la última persona recibe los siete libros restantes por defecto). Ahora, entre los 14 libros, necesitas distribuirlos entre las personas restantes. ¿Cuántas formas hay de distribuir 14 libros a 2 personas donde cada libro se distribuye? Puedes verlo como que el primer libro puede ir a la primera persona o a la segunda persona. El segundo libro puede ir a la primera persona o a la segunda persona. Etc.

Finalmente, necesitas restar cualquier exceso de conteo. Este método de conteo que describí cuenta situaciones donde distribuyes siete libros a las tres personas tres veces cada una.

$$\dbinom{3}{2}\dbinom{21}{14}2^{14} - 2\dfrac{21!}{(7!)^3}$$