¿Cuántas soluciones hay para $x^d\equiv a\pmod {p}$?

Question

Si $\gcd(d,p-1) = 1$, hay una solución única para $x^d \equiv a \pmod p$.

Si $\gcd(d,p-1) > 1$, hay exactamente $d$ soluciones para $x^d\equiv a\pmod p.

$p$ primo, $d\ge 1$, $a\not\equiv 0\pmod p. Lo encontré en Internet y es la primera vez que lo veo.

Por supuesto, es relacionado con el Teorema de Fermat: $\,p\nmid x\,\Rightarrow\,x^{p-1}\equiv 1\pmod p.

edit: He refutado la segunda afirmación: si $d=k(p-1), k\ge 2$, entonces $a\not\equiv 1\pmod {p}$ no da soluciones y $a\equiv 1\pmod p$ da $p-1$ ($\neq k(p-1)$) soluciones.

La segunda afirmación suena realmente a tontería cuando lo piensas: el número de soluciones seguramente es $\le |\mathbb Z_p\setminus\{0\}|=p-1$ y sin embargo $d$ no tiene restricción de tamaño.

Answer 1

Las declaraciones no son correctas, hay algunos errores pequeños en ellas y hay una corrección al final de esta respuesta.

Probemos una declaración similar usando el hecho de que $Z_p^*$ es un grupo cíclico, lo que significa que existe un elemento $g$ de orden $p-1$ ($g^i\equiv 1\mod p$ si y solo si $p-1$ divide a $i$) tal que: $$\Bbb Z_p=\{0,1,g,g^2,\cdots,g^{p-2}\} $$Dado un número entero positivo $d$, sea $\gcd(d,p-1)=m$ y sea $a=g^n$ un elemento de $\Bbb Z_p^*$. Tenemos (módulo $p$): $$x^d=a\overset{\color{#f00}{x=g^k}}\iff (g^k)^d=g^n\iff g^{kd-n}=1\iff p-1|kd-n$$ y a partir de aquí tenemos:

• Si $m$ no divide a $n$ entonces no existe solución.
• Si $m$ divide a $n$ entonces el número de soluciones es el número de enteros $0\leq k\leq p-2$ tal que $\frac{p-1}{m}$ divide a $k\frac{d}{m}-\frac{n}{m}$ lo cual se puede escribir como la congruencia: $$k\frac{d}{m}\equiv \frac{n}{m}\mod \frac{p-1}{m}$$

la cual tiene solo una solución $k_0$ menor que $\frac{p-1}{m}$ que es el inverso de $\frac{d}{m}$ módulo $\frac{p-1}{m}$, por lo que tiene exactamente $m$ soluciones módulo $p-1$ y estas soluciones se pueden escribir como $k_1=k_0,k_2=k_0+1\cdot\frac{p-1}{m},\cdots,k_m=k_0+(m-1)\cdot \frac{p-1}{m} $.

Para regresar a la ecuación inicial, las soluciones son: $$x_1=g^{k_1},\cdots,x_m=g^{k_m} $$

Conclusión

Si $\gcd(d,p-1)=m$ y $a$ es una potencia no nula de $m$, entonces la ecuación $x^d=a$ tiene exactamente $m$ soluciones en el campo $\Bbb Z_p$, si $a$ no es una potencia de $m$, no existe solución.

Para corregir las declaraciones, diría que:

Si $\gcd(d,p-1) = 1$, hay una solución única para $x^d \equiv a \pmod p$.

Si $\gcd(d,p-1) > 1$, y la ecuación $x^d\equiv a\mod p$ tiene una solución, entonces hay exactamente $\gcd(d,p-1)$ soluciones para $x^d\equiv a\pmod p$.