Quiero ver el método para calcular las siguientes integrales: $$\int_0^\infty\ln(x)\sin(x^2)dx$$ y $$\int_0^\infty\ln(x)\cos(x^2)dx$$ Creo que las vi antes en este foro, pero no puedo encontrarlas de nuevo usando la función de búsqueda. ¿Alguien puede ayudarme a calcular estas integrales, o tal vez solo compartir el enlace original? Gracias.
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Roger Hoover
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Consideremos, para $\alpha\in(-1,0)$, $$ S(\alpha)=\lim_{T\to +\infty}\int_{0}^{T}x^\alpha \sin(x^2)\,dx = \frac{1}{2}\lim_{T\to +\infty}\int_{0}^{T}x^{\frac{\alpha-1}{2}}\sin(x)\,dx. $$ Por la autoadjunción de la transformada de Laplace, el RHS es igual a $$ \frac{1}{2\,\Gamma\left(\frac{1-\alpha}{2}\right)}\int_{0}^{+\infty}\frac{ds}{(s^2+1)s^{\frac{\alpha+1}{2}}} $$ y mediante la sustitución $s=\tan\theta$ y la función Beta de Euler obtenemos $$ S(\alpha) = \frac{\pi}{2\,\Gamma\left(\frac{1-\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}(\alpha+1)\right)}.$$ Utilizando diferenciación bajo el signo integral, $$ \frac{d}{d\alpha} S(\alpha) = \lim_{T\to +\infty}\int_{0}^{T}x^\alpha \log(x)\sin(x^2)\,dx = \frac{\pi}{8}\cdot\frac{2\,\psi\left(\frac{1-\alpha}{2}\right)+\frac{\pi}{4}\tan\left(\frac{\pi}{4}(\alpha+1)\right)}{\Gamma\left(\frac{1-\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}(\alpha+1)\right)}$$ de manera que $$ \lim_{T\to +\infty}\int_{0}^{T}\log(x)\sin(x^2)\,dx = \lim_{\alpha\to 0^-}S'(\alpha) = \frac{1}{8}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\left[\pi+2\,\psi\left(\tfrac{1}{2}\right)\right]$$ donde $\psi\left(\frac{1}{2}\right)=-\gamma-2\log(2)$ por el Teorema de Gauss Digamma. De la misma manera $$ \lim_{T\to +\infty}\int_{0}^{T}\log(x)\cos(x^2)\,dx = \lim_{\alpha\to 0^-}C'(\alpha) = -\frac{1}{8}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\left[2\gamma+\pi+4\log 2\right].$$
Los resultados pueden combinarse en la identidad no trivial $$ \lim_{T\to +\infty}\int_{0}^{T}\log(x)\left[\sin(x^2)-\cos(x^2)\right]\,dx = \sqrt{\frac{\pi^3}{32}}.$$
