Calcular el límite de funciones logarítmicas

Question

¿Cómo puedo calcular el límite expresado por: \begin{equation} \lim_{x\to \infty} \left(\frac{\ln(x^2+3x+4)}{\ln(x^2+2x+3)}\right)^{x\ln(x)} \end{equation>

Answer 1

Tomando el ln de ambos lados, obtienes, para $x\to+\infty$: $$\begin{equation} x\ln(x)\ln\left(\frac{\ln(x^2+3x+4)}{\ln(x^2+2x+3)}\right)\sim x\ln(x)\left(\frac{\ln(x^2+3x+4)}{\ln(x^2+2x+3)}-1\right)=\frac{x\ln(x)}{\ln(x^2+2x+3)}\ln\left(\frac{x^2+3x+4}{x^2+2x+3}\right)\sim \frac{x\ln(x)}{\ln(x^2+2x+3)}\left(\frac{x^2+3x+4}{x^2+2x+3}-1\right)= \frac{x\ln(x)}{\ln(x^2+2x+3)}\left(\frac{x+1}{x^2+2x+3}\right)\sim \frac{\ln(x)}{\ln(x^2+2x+3)}\sim \frac{\ln(x)}{\ln(x^2)}\to\frac 12. \end{equation}$$ Así que tu límite es $\sqrt e$.