¿Puede un triángulo tener un lado de longitud cero?

Question

Estoy escribiendo un programa que determina el tipo de triángulo que es basado en las longitudes de los tres lados. Creo que he cubierto todas las bases con una excepción de la que no estoy seguro. ¿Un triángulo con todos lados de cero es un triángulo o no? Siguiendo el Teorema de la Desigualdad del Triángulo un triángulo con todos lados de cero no pasa la prueba. Pero ¿es un triángulo con todos lados de cero un caso especial como en la teoría de conjuntos un conjunto cero es un tipo especial de conjunto? Finalmente, no creo que un triángulo pueda tener uno de los lados de longitud cero porque eso no pasaría la prueba del Teorema de la Desigualdad del Triángulo.

Por ejemplo, no creo que puedas encontrar tres lados con uno de los lados igual a cero que satisfaga;

a + b > c

a + c > b

b + c > a

Solo estoy tratando de averiguar si un triángulo puede tener un lado o todos los lados de longitud cero y si lo tiene, ¿es un triángulo válido?

Answer 1

Sí, y ese tipo de triángulo se llama un triángulo degenerado. Si la distancia entre dos puntos $a$ y $b$ es cero, entonces el vértice correspondiente $\overline{ab}$ es el vector cero, que es colineal con cada vector (que incluye a $\overline{ac}$ y $\overline{bc}$). Por lo tanto, los vectores que definen el triángulo son todos colineales, es decir, un triángulo degenerado.

En cuanto a tu pregunta sobre una "Prueba de la Desigualdad del Triángulo", esta "prueba" parece ser más bien una herramienta de enseñanza para clasificación en lugar de una regla definitiva. Pero la desigualdad del triángulo en sí permite la igualdad que ocurre si y solo si el triángulo es degenerado.

Permitir triángulos degenerados puede reducir significativamente el número de casos especiales en la integración sobre polígonos, como un ejemplo de uso matemático.