Demostrar que $g\geq f^2$

Question

El problema es el siguiente:

Sea $(f_n)$ una secuencia en $L^2(\mathbb R)$ y sea $f\in L^2(\mathbb R)$ y $g\in L^1(\mathbb R)$. Supongamos que $$f_n \rightharpoonup f\;\text{ débilmente en } L^2(\mathbb R)$$ y $$f_n^2 \rightharpoonup g\;\text{ débilmente en } L^1(\mathbb R).$$ Demuestra que $$f^2\leq g$$ casi en todas partes en $\mathbb R$.

Admito que tengo problemas con esto ya que hace mucho tiempo que no trato con este tipo de problemas. Incluso una pista es bienvenida. Muchas gracias.

Answer 1

Bueno, es una propiedad de la convergencia débil que cada secuencia convergente débil es acotada y

$$||f||\leq \lim\inf ||f_{n}||$$

entonces para cada $\Omega \in \mathbb{R}^n$ medible con medida finita tenemos

$$\left(\int_\Omega f^2\right)^{\frac{1}{2}}\leq \lim\inf\left(\int_\Omega f_n^2\right)^{\frac{1}{2}}$$

Eso implica

$$\int_\Omega f^2\leq \lim\inf\int_\Omega f_n^2\tag{1}$$

Observa que la función $h$ constante igual a 1 en $\Omega$ y 0 en caso contrario está en $L^{\infty}{(\mathbb{R})}$ que es el dual de $L^{1}{(\mathbb{R})}$ entonces

$$\int_{\Omega}f_n^2\rightarrow\int_\Omega g\tag{2}$$

Juntando (1) y (2) obtenemos

$$\int_{\Omega}f^2\leq\int_\Omega g$$

Dado que $\Omega$ es arbitrario, tenemos $f^2\leq g$ casi en todas partes.$\blacksquare$

Answer 2

Aquí hay otra solución. La idea principal es obtener una estimación integral y usar una aproximación a la identidad para reducirla a una estimación puntual.

Sea $E$ el conjunto de puntos $x$ tales que $x$ es un punto de Lebesgue tanto de $f$ como de $g$. Dado que tanto $f$ como $g$ son localmente integrables, $\mathbb{R}-E$ tiene medida cero.

Ahora elige $x\in E$ y considera un cubo $C_x(r)$ de longitud lateral $r$ centrado en $x$. Entonces

$$\phi_{\epsilon}=\frac{1}{|C_{x}(\epsilon)|}\chi_{C_{x}(\epsilon)}$$

pertenece a $L^2(\mathbb{R})\cap L^{\infty}(\mathbb{R})$, por lo que

$$(f_n,\phi_{\epsilon})\to(f,\phi_{\epsilon})\quad\text{y}\quad(f_n^2,\phi_{\epsilon})\to(g,\phi_{\epsilon}).$$

Aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwarz a $f_n\sqrt{\phi_{\epsilon}}\cdot\sqrt{\phi_{\epsilon}}$,

$$(f_n,\phi_{\epsilon})^2=\left( \int f_n\phi_{\epsilon}\right)^2\leq\int f_n^2\phi_{\epsilon}=(f_n^2,\phi_{\epsilon}).$$

Así que al llevar $n\to\infty$ tenemos

$$(f,\phi_{\epsilon})^2\leq(g,\phi_{\epsilon}).$$

Ahora al llevar $\epsilon\to 0$ obtenemos $f^2(x)\leq g(x)$, completando la demostración.

P.D. Vi una pregunta similar en AoPS. Espero que mi respuesta no sea un duplicado.