¿Qué ley de logaritmos justifica $(\lg n)^{\lg n} = n^{\lg \lg n}$?

Question

Estaba leyendo la solución al 3.2-4 en este blog (imagen cortada pegada aquí)

nota que la persona dice $\frac{(\lg n)^{\lg n}}{n} = \frac{n^{\lg \lg n}}{n}$

¿Qué ley de logaritmos justifica eso?

Además, ¿es correcto que sea un error donde simplifican $e^{\lg n}$ a $n$ en el denominador?

Answer 1

Es una cadena de simplificaciones de logaritmos. Supongo que por $\lg$ el autor se refiere al logaritmo natural, por el cual $e^{\lg n} = n$ como propiedad definitoria (para responder a tu segunda pregunta).

$$(\lg n)^{\lg n} = \left(e^{(\lg \lg n)}\right)^{\lg n} = e^{(\lg \lg n)(\lg n)}= e^{(\lg n)(\lg \lg n)} = (e^{\lg n})^{(\lg \lg n)} = n^{\lg \lg n}$$

Answer 2

Comienza con $(\lg n)^{\lg n}$. Toma su logaritmo: $$\lg\left((\lg n)^{\lg n}\right)=\lg n\cdot\lg\lg n$$ por la propiedad de los logaritmos de la potencia. Ahora haz lo mismo con $n^{\lg\lg n}$: $$\lg\left(n^{\lg\lg n}\right)=\lg\lg n\cdot\lg n$$ Ambos son iguales, así que como la función logaritmo es biunívoca tenemos $$(\lg n)^{\lg n}=n^{\lg\lg n}$$

Añadido. Para tu última pregunta, sí, fue un error decir que $e^{\lg n}=n$. De hecho, $$e^{\lg n} = 2^{\lg(e^{\lg n})}=2^{\lg n\cdot\lg e}=n^{\lg e}\approx n^{1.44269}$$

Answer 3

Si $y = (\ln n)^{\ln n}$ entonces $\ln y = (\ln n)(\ln(\ln n))$.

Usé $\ln x^y \equiv y \ln x$ para obtener esto.

Si $\ln y = (\ln n)(\ln(\ln n))$ entonces $y = \operatorname{e}^{(\ln n)(\ln(\ln n))} \equiv (\operatorname{e}^{\ln n})^{\ln(\ln n)} \equiv n^{\ln(\ln n)}.

Usé $(x^a)^b \equiv x^{ab}$ y $\operatorname{e}^{\ln y} \equiv y$ para obtener esto.

Answer 4

Expanda cada uno de ellos usando $a^b = 2^{b \lg a}$.

La simplificación que cuestionas no es una igualdad sino una desigualdad.