Interpretación de una igualdad: Área de un polígono regular y la integral $\int_0^{\infty}\! \frac{\mathbb{d}x}{1+x^N}$

Question

Recientemente, aprendí la integral de este post:

$$\mathcal I=\int_0^{\infty}\! \frac{\mathbb{d}x}{1+x^N}=\frac{\pi/N}{\sin(\pi/N)}$$

Esto me recuerda al área de un polígono regular. Considera un $2N$-gon con "radio" unitario. (Distancia del centro a los vértices)

El área está dada por

$$A_{2N}=(2N)\left(\frac12\cdot 1^2\sin{\frac{2\pi}{2N}}\right)=\pi\cdot\frac{\sin(\pi/N)}{\pi/N}$$

Pregunta

Resulta que encontramos la igualdad

$$\frac{1}{A_{2N}}=\frac{1}{\pi}\int_0^{\infty}\! \frac{\mathbb{d}x}{1+x^N}$$

Puede parecer una coincidencia, pero ¿lo es? ¿Tenemos alguna interpretación de algún tipo para esta igualdad?

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Pensamientos

El término $\frac{1}{A_{2N}}$ es equivalente a la probabilidad de elegir una región con límite arbitrario y área unitaria cuadrada de un $2N$-gon regular con "radio" unitario.

O, como sugiere @Thomas Andrews, podemos reescribir la ecuación como

$$\frac{\pi}{A_{N}}=\int_0^{\infty}\! \frac{\mathbb{d}x}{1+x^{N/2}}, N\in\Bbb{N}$$

Answer 1

La interpretación parcial es dada por el teorema de los residuos. Los residuos se calculan en los vértices del polígono considerado en OP. Al mismo tiempo, solo se utilizan la mitad de los vértices, pero esto no cambia la situación común.

Los vértices del polígono están en el círculo de radio $1.$ El primer vértice tiene el ángulo polar $\frac\pi N,$ el paso del ángulo entre vértices vecinos es doble.

Teniendo en cuenta la regla de L'Hopital, se puede obtener para cualquiera de los vértices \begin{align} &x_k = e^{\frac\pi N(2k+1)i},\\ &\mathop{\mathrm{Res}}\limits_{x_k}\dfrac1{1+x^N} = \lim\limits_{x\to x_k}\dfrac{x-x_k}{1+x^N} = \dfrac{1}{Nx_k^{N-1}} = -\dfrac{x_k}N =-e^{\frac{2k\pi}Ni}\frac{\cos\frac\pi N+i\sin\frac\pi N}{N}.\\[4pt] \end{align} El teorema de los residuos define la integral del problema como la suma de los residuos con el coeficiente $2\pi i.$ Teniendo en cuenta que la sumatoria elimina el factor $e^{\frac{2k\pi}Ni},$ es fácil ver la analogía del término $\sin\frac\pi N$ con el cuadrado de cualesquiera de los triángulos que forman el polígono. También es razonable el factor $\pi.$

Al mismo tiempo, la sumatoria a través del teorema de los residuos no agrega el factor $N$ al numerador. Por el contrario, el uso de la regla de L'Hospital agrega este factor al denominador.

Y este detalle define la diferencia.