¿Por qué no podemos usar la misma fórmula para encontrar la distancia entre líneas oblicuas y líneas paralelas?

Question

La distancia entre dos rectas oblicuas está dada por la ecuación

$$d = \frac{| (\vec{a}_2 – \vec{a}_1) . (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2) |} {| \vec{b}_1 \times \vec{b}_2|}$$ Básicamente, la ecuación encuentra la proyección de $PQ$ en $AB$. Pero ¿por qué no podemos aplicar la misma fórmula si las dos líneas son paralelas? Si aplicamos la misma lógica de encontrar la proyección de $PQ$ en $AB$, deberíamos obtener la fórmula para la distancia entre líneas paralelas como $$d = \frac{| (\vec{a}_2 – \vec{a}_1).\vec{b} |} {| \vec{b}|}$$ donde $\vec{b}$ es el vector perpendicular a las líneas paralelas.

Sin embargo, la distancia entre líneas paralelas está dada por la ecuación $$ d = \frac{|(\vec a_{2}-\vec a_{1})×\vec b|}{|\vec b|}$$ donde $\vec{b}$ es el vector paralelo a las líneas paralelas.

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Creo que ambas fórmulas son correctas, excepto que no es directo encontrar un vector perpendicular a las líneas paralelas y que pase por ambas. ¿Estoy en lo correcto?

Answer 1

Si $b_2=\lambda b_1$ (son paralelos) entonces el numerador de la fórmula es: $$\|(a_2-a_1)\cdot(b\times\lambda b)\|=\det((a_2-a_1)\,\,b\,\,\lambda b)=0$$ Y el denominador también es cero. La fórmula es inútil para vectores paralelos ya que la magnitud del producto cruzado es nula.

La cantidad: $$\frac{\|(a_2-a_1)\cdot b\|}{\|b\|}$$ No da la distancia entre las líneas (a menos que sea por accidente). Más bien te da la longitud de la proyección del vector $a_1\to a_2$ en $b$, ya que es $\|a_2-a_1\|\cdot|\cos\theta|$ para el ángulo $\theta$ entre ellos. Quieres el seno para la distancia en su lugar, lo cual es lo que obtienes con el producto cruzado.