Desigualdad de números complejos: trazado de los valores

Question

Me encontré con algo que no puedo resolver.

El ejercicio dice:

Grafica los valores en el plano complejo que satisfacen la desigualdad:

$$\cos[{\arg{(-2iz^4)}}]\ge0$$

Esto es lo que hice.

Paso 1 - transformar $-2iz^4$ en forma trigonométrica y luego exponencial para que podamos notar el argumento más fácilmente. (También elevé el número a la potencia de 4)

$z^4 = \sqrt{x^2+y^2}^4(\cos{(4\arctan{\frac{y}{x}) +i\sin(4\arctan{\frac{y}{x})}}}$

Paso 2 - multiplicar el número por $-2i$ que tiene la forma exponencial de $$2e^{i\LARGE{\frac{3\pi}{2}}}$$

con lo que obtenemos que $-2iz^4$ es $2(x^2+y^2)^2\cdot e^({\frac{3\pi}{2}}+4\arctan{\frac{y}{x})}$

Luego podemos deducir que el argumento de $cos$ en el ejercicio original es $$\frac{3\pi}{2} + 4\arctan{\frac{y}{x}}$$

Ahora obtengo $$\cos({\frac{3\pi}{2} + 4\arctan{\frac{y}{x}})} \ge0$$

Esto es lo mismo que $$\sin({4\arctan{\frac{y}{x}})} \ge0$$

Y no sé cómo proceder. Usé el graficador Desmos y creo que su gráfica es la misma que la que tengo en mis soluciones en el cuaderno (lo que me lleva a pensar que mi trabajo estaba correcto hasta este punto) pero no tengo ni idea de cómo proceder aquí.

Lo que intenté hacer: Intenté aplicar la función $\arcsin$ a ambos lados y luego aplicar $\arctan$ pero lo que obtengo es $\frac{y}{x}\ge0$ que no es correcto.

¿Alguien puede aconsejarme cómo resolver esto? ¡Gracias!

Answer 1

$$\arg(-2i z^4)= 4\,\arg\, z-\frac{\pi}{2}+ 2k\pi, \quad k\in\text{Enteros}.$$

$$\cos(\phi)\ge 0 \iff -\frac{\pi}{2}\le \phi +2k\pi \le \frac{\pi}{2} $$

Combinando estas dos expresiones:

$$-\frac{\pi}{2} +2k\pi \le 4 \,\text{arg}\, z -\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{2} + 2k\pi$$

$$\frac{k\pi}{2} \le \text{arg}\,{z} \le \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$$

$$\text{arg}\,z \in \left\{\cdots [-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{4}] \cup [0,\frac{\pi}{4} ]\cup [\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4}]\cup \cdots \right\}$$