Espacio de producto interno, puntos no se pueden colocar dentro de una bola de un radio dado

Question

He encontrado un muy buen problema y no sé cómo resolverlo.

Deje $(E, || \cdot ||)$ ser un producto interior espacio, $x_1, ..., x_n \in E$.

Probar que si para $i \neq j$ tenemos $||x_i - x_j|| \ge 2$, entonces los puntos de $x_1, ..., x_n$ no puede ser colocado dentro de una bola de radio de menos de $\sqrt{\frac{2(n-1)}{n}}$.

$B(x_0, r) = \{y \in E \ \ | \ \ ||x_0-y||<r\}$

La más pequeña bola que contiene dos puntos tales que $||x_1 - x_2|| \ge 2$ radio $=1$$\sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2}}=1$, por Lo que funciona para los 2 puntos.

Con el fin de colocar tres puntos dentro de una bola necesitamos para construir un triángulo equilátero, y entonces el radio de $= \frac{2 \sqrt{3}}{3}=\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{3}}$. Trabaja tres puntos.

Sin embargo, en el caso de los cuatro puntos de no obtener una plaza, pero un rombo (error, es un tetraedro). Tenía la esperanza de que podría utilizar la inducción, pero no puedo averiguar cómo calcular el radio de la bola.

Answer 1

Creo que hay un error en el ejemplo. Para $n=4$ la forma no es un Rombo pero un tetraedro. Imagine $4$ de los puntos con la misma distancia el uno con el otro. La forma geométrica resultante debe ser un tetraedro. Del mismo modo el $n=k$ caso nos debe de dar un $k$-dimensiones simplex.

La pregunta ahora es deducir la pelota, que puede contener un $k$-dimensiones simplex con lado de longitud $2$. El cálculo parece ya estar hecho en aquí, que yo no voy a replicar. Esto debería ser suficiente para resolver el problema.